A temperatura em qualquer ponto de uma placa plana é graus e . Se a distância for medida em centímetros, ache a taxa de variação da temperatura em relação à distância movida ao longo da placa nas direções dos eixos positivos e , respectivamente, no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre como a temperatura muda em uma placa plana, dada por uma função . O conteúdo aqui envolve derivadas parciais, que nos ajudam a entender como uma função muda quando a gente varia uma das variáveis, mantendo a outra fixa. A gente vai precisar calcular essas derivadas parciais em relação a e no ponto específico .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Se tivermos uma função , a derivada parcial em relação a () mostra como muda quando a gente varia , mantendo constante. O mesmo vale para .
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Como 54 e não dependem de , suas derivadas em relação a são zero. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Aqui, 54 e não dependem de , então suas derivadas em relação a são zero. Ficamos com:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais, vamos avaliar elas no ponto .
Para :
Para :
Resposta
A taxa de variação da temperatura no ponto é de graus por centímetro na direção positiva de e graus por centímetro na direção positiva de .