A temperatura em qualquer ponto de uma placa plana é T graus e T(x, y) = 54 - (2/3) x^2 - 4 y^2. Se a distância for medida em centímetros, ache a taxa de variação da temperatura em relação à distância movida ao longo da placa nas direções dos eixos positivos x e y, respectivamente, no ponto 3,1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre como a temperatura muda em uma placa plana, dada por uma função . O conteúdo aqui envolve derivadas parciais, que nos ajudam a entender como uma função muda quando a gente varia uma das variáveis, mantendo a outra fixa. A gente vai precisar calcular essas derivadas parciais em relação a e no ponto específico .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Se tivermos uma função , a derivada parcial em relação a ( ) mostra como muda quando a gente varia , mantendo constante. O mesmo vale para .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Como 54 e não dependem de , suas derivadas em relação a são zero. Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Aqui, 54 e não dependem de , então suas derivadas em relação a são zero. Ficamos com:

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, vamos avaliar elas no ponto .
Para :
Para :

Resposta

A taxa de variação da temperatura no ponto é de graus por centímetro na direção positiva de e graus por centímetro na direção positiva de .

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