Calcule as Derivadas parciais indicadas e

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma função de várias variáveis, que no caso é . A tarefa é calcular duas derivadas parciais específicas: a derivada de em relação a quando , ou seja, , e a derivada de em relação a quando , que é . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais, que basicamente mostram como a função muda quando uma variável muda, mantendo as outras constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para fazer isso, tratamos e como constantes e derivamos cada termo da função com respeito a .
A função é:
Derivando termo a termo:
  1. : A derivada em relação a é .
  2. : A derivada em relação a é .
  3. : A derivada em relação a é .
  4. : A derivada de uma constante é .
Então, a derivada parcial é:

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores na expressão que encontramos para :
Calculando passo a passo:
  1. Multiplicando:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos e como constantes e derivamos cada termo da função com respeito a .
Novamente, a função é:
Derivando termo a termo:
  1. : A derivada em relação a é .
  2. : A derivada em relação a é , já que não há nesse termo.
  3. : A derivada em relação a é .
  4. : A derivada de uma constante é .
Então, a derivada parcial é:

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores na expressão que encontramos para :
Calculando passo a passo:
  1. Multiplicando:
Então:

Resposta

A derivada parcial é e a derivada parcial é .

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Determine as derivadas parciais indicadas
e
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