Calcule as Derivadas parciais indicadas
e
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma função de várias variáveis, que no caso é
. A tarefa é calcular duas derivadas parciais específicas: a derivada de
em relação a
quando
, ou seja,
, e a derivada de
em relação a
quando
, que é
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais, que basicamente mostram como a função muda quando uma variável muda, mantendo as outras constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para fazer isso, tratamos
e
como constantes e derivamos cada termo da função com respeito a
.
A função é:
Derivando termo a termo:
-
: A derivada em relação a é . -
: A derivada em relação a é . -
: A derivada em relação a é . -
: A derivada de uma constante é .
Então, a derivada parcial
é:
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores
na expressão que encontramos para
:
Calculando passo a passo:
-
-
- Multiplicando:
-
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
e
como constantes e derivamos cada termo da função com respeito a
.
Novamente, a função é:
Derivando termo a termo:
-
: A derivada em relação a é . -
: A derivada em relação a é , já que não há nesse termo. -
: A derivada em relação a é . -
: A derivada de uma constante é .
Então, a derivada parcial
é:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores
na expressão que encontramos para
:
Calculando passo a passo:
-
-
-
- Multiplicando:
-
Então:
Resposta
A derivada parcial
é
e a derivada parcial
é
.
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(10)
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Determine as derivadas parciais indicadas
e
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(20)
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(25)
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