Determine as derivadas parciais indicadas
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar duas derivadas parciais de uma função. A função dada é:
O conteúdo que vamos usar aqui é derivadas parciais, que são a maneira de ver como a função muda quando a gente varia uma variável mantendo a outra fixa. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender como tirar derivadas parciais e aplicar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a primeira derivada parcial de
em relação a
, que a gente denota por
. Isso significa que vamos derivar cada termo da função em relação a
, tratando
como uma constante.
A função é:
Derivando cada termo:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Então, temos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a segunda derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Isso significa derivar
em relação a
novamente.
Temos:
Derivando cada termo:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Então:
Passo 4
Agora, vamos tirar a derivada parcial de
em relação a
para encontrar
.
Temos:
Derivando cada termo em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Assim, a derivada
é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a outra derivada que precisamos:
. Para isso, vamos começar encontrando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função original é:
Derivando cada termo em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Então:
Passo 6
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
.
Temos:
Derivando cada termo em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Então:
Passo 7
Finalmente, vamos derivar
em relação a
para encontrar
.
Temos:
Derivando cada termo em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Então:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
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e
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e
Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(10)
(10)
Calcule as Derivadas parciais indicadas
e