Calcule as derivadas parciais indicadas:
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente tem uma função de três variáveis: . O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais, que é essencial quando lidamos com funções de várias variáveis. Para resolver, a gente precisa encontrar as derivadas de em relação a , e separadamente, mantendo as outras variáveis constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Quando derivamos em relação a , tratamos e como constantes. A função é .
Usamos a regra da cadeia para derivar . A derivada de em relação a é , então aplicamos isso:

Passo 3

Agora, vamos para a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Desta vez, tratamos e como constantes. A função é .
Aqui, a derivada de em relação a é 1, então simplesmente multiplicamos pela constante :

Passo 4

Por último, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos e como constantes. A função é .
Usamos novamente a regra da cadeia para derivar . A derivada de em relação a é , então:

Resposta

As derivadas parciais são:

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Considere uma pirâmide de base retangular, sabendo que o volume da pirâmide é , onde é a área da base e é a altura da pirâmide. Sejam o comprimento e a largura da base da pirâmide.
(a) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de em relação a se variar e e permanecerem constantes.
Calcule as derivadas parciais indicadas:
(d)
Esboce o gráfico e encontre a área da região englobada pelas curvas e .
Considere uma pirâmide de base retangular, sabendo que o volume da pirâmide é , onde é a área da base e é a altura da pirâmide. Sejam o comprimento e a largura da base da pirâmide.
(b) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de em relação a se variar e e permanecerem constantes.