Calcule as derivadas parciais indicadas:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente tem uma função de três variáveis:
. O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais, que é essencial quando lidamos com funções de várias variáveis. Para resolver, a gente precisa encontrar as derivadas de
em relação a
,
e
separadamente, mantendo as outras variáveis constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Quando derivamos em relação a
, tratamos
e
como constantes. A função é
.
Usamos a regra da cadeia para derivar
. A derivada de
em relação a
é
, então aplicamos isso:
Passo 3
Agora, vamos para a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Desta vez, tratamos
e
como constantes. A função é
.
Aqui, a derivada de
em relação a
é 1, então simplesmente multiplicamos pela constante
:
Passo 4
Por último, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
e
como constantes. A função é
.
Usamos novamente a regra da cadeia para derivar
. A derivada de
em relação a
é
, então:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Considere uma pirâmide de base retangular, sabendo que o volume da pirâmide é
, onde
é a área da base e
é a altura da pirâmide. Sejam
o comprimento e
a largura da base da pirâmide.
(a) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de em relação a
se
variar e
e
permanecerem constantes.
(a) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de
Calcule as derivadas parciais indicadas:
(d)
(d)
Esboce o gráfico e encontre a área da região englobada pelas curvas
e
.
Considere uma pirâmide de base retangular, sabendo que o volume da pirâmide é
, onde
é a área da base e
é a altura da pirâmide. Sejam
o comprimento e
a largura da base da pirâmide.
(b) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de em relação a
se
variar e
e
permanecerem constantes.
(b) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de