Considere uma pirâmide de base retangular, sabendo que o volume da pirâmide é , onde é a área da base e é a altura da pirâmide. Sejam o comprimento e a largura da base da pirâmide.
(a) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de em relação a se variar e e permanecerem constantes.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos uma pirâmide com base retangular, onde o volume é dado pela fórmula . A base retangular tem comprimento e largura , e a altura da pirâmide é . Nosso objetivo aqui é encontrar uma fórmula que represente a taxa de variação instantânea do volume em relação a , assumindo que e permanecem constantes. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar a área da base em termos de e . Como a base é retangular, a área é simplesmente o produto do comprimento pela largura:

Passo 3

Substituímos na fórmula do volume da pirâmide:
Como e são constantes, podemos tratar como um único coeficiente.

Passo 4

Para encontrar a taxa de variação instantânea de em relação a , precisamos derivar a função em relação a . A derivada nos mostra como muda quando varia infinitesimalmente.
A derivada de em relação a é:

Passo 5

Como e são constantes, podemos simplificar a derivada:
E sabemos que:

Passo 6

Portanto, a derivada fica:

Resposta

A taxa de variação instantânea de em relação a é .

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(d)
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