Considere uma pirâmide de base retangular, sabendo que o volume da pirâmide é
, onde
é a área da base e
é a altura da pirâmide. Sejam
o comprimento e
a largura da base da pirâmide.
(a) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de
em relação a
se
variar e
e
permanecerem constantes.
(a) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos uma pirâmide com base retangular, onde o volume
é dado pela fórmula
. A base retangular tem comprimento
e largura
, e a altura da pirâmide é
. Nosso objetivo aqui é encontrar uma fórmula que represente a taxa de variação instantânea do volume
em relação a
, assumindo que
e
permanecem constantes. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar a área da base
em termos de
e
. Como a base é retangular, a área é simplesmente o produto do comprimento pela largura:
Passo 3
Substituímos
na fórmula do volume da pirâmide:
Como
e
são constantes, podemos tratar
como um único coeficiente.
Passo 4
Para encontrar a taxa de variação instantânea de
em relação a
, precisamos derivar a função
em relação a
. A derivada nos mostra como
muda quando
varia infinitesimalmente.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Como
e
são constantes, podemos simplificar a derivada:
E sabemos que:
Passo 6
Portanto, a derivada fica:
Resposta
A taxa de variação instantânea de
em relação a
é
.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas parciais indicadas:
(d)
(d)
Determine uma EDO linear homogênea cuja solução geral é dada por:
.
Calcule as derivadas parciais indicadas:
©
©
Esboce o gráfico e encontre a área da região englobada pelas curvas
e
.