Esboce o gráfico e encontre a área da região englobada pelas curvas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente desenhar os gráficos das funções e e encontrar a área da região que fica entre elas. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica e cálculo, especialmente sobre gráficos de funções e cálculo de áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde essas duas curvas se interceptam, ou seja, os pontos onde . Isso vai nos dar os limites para calcular a área.
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e .
Então, temos duas soluções:
Portanto, as curvas se interceptam nos pontos e .

Passo 3

Agora, precisamos entender qual das duas funções está por cima da outra nesse intervalo de de -2 a 3. Vamos escolher um valor dentro desse intervalo, por exemplo, :
Vemos que, em , está acima de . Isso indica que, nesse intervalo, a função linear está acima da função quadrática .

Passo 4

Com isso, podemos calcular a área entre as duas curvas integrando a diferença entre elas, da esquerda para a direita dos pontos de interseção. A fórmula para a área é:
Aqui, e , e os limites de integração são e .

Passo 5

Vamos agora calcular essa integral:
Integrando termo a termo:
Então,
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Agora, subtraindo os dois resultados:

Resposta

A área da região entre as curvas e é unidades de área, ou aproximadamente 20,83 unidades².

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Calcule as derivadas parciais indicadas:
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Considere uma pirâmide de base retangular, sabendo que o volume da pirâmide é , onde é a área da base e é a altura da pirâmide. Sejam o comprimento e a largura da base da pirâmide.
(a) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de em relação a se variar e e permanecerem constantes.
Considere uma pirâmide de base retangular, sabendo que o volume da pirâmide é , onde é a área da base e é a altura da pirâmide. Sejam o comprimento e a largura da base da pirâmide.
(b) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de em relação a se variar e e permanecerem constantes.
Utilizando o método da variação dos parâmetros, determine a solução geral da EDO dada. .