Esboce o gráfico e encontre a área da região englobada pelas curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente desenhar os gráficos das funções
e
e encontrar a área da região que fica entre elas. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica e cálculo, especialmente sobre gráficos de funções e cálculo de áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde essas duas curvas se interceptam, ou seja, os pontos onde
. Isso vai nos dar os limites para calcular a área.
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
.
Então, temos duas soluções:
Portanto, as curvas se interceptam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, precisamos entender qual das duas funções está por cima da outra nesse intervalo de
de -2 a 3. Vamos escolher um valor dentro desse intervalo, por exemplo,
:
Vemos que, em
,
está acima de
. Isso indica que, nesse intervalo, a função linear
está acima da função quadrática
.
Passo 4
Com isso, podemos calcular a área entre as duas curvas integrando a diferença entre elas, da esquerda para a direita dos pontos de interseção. A fórmula para a área
é:
Aqui,
e
, e os limites de integração são
e
.
Passo 5
Vamos agora calcular essa integral:
Integrando termo a termo:
Então,
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Agora, subtraindo os dois resultados:
Resposta
A área da região entre as curvas
e
é
unidades de área, ou aproximadamente 20,83 unidades².
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas parciais indicadas:
©
©
Considere uma pirâmide de base retangular, sabendo que o volume da pirâmide é
, onde
é a área da base e
é a altura da pirâmide. Sejam
o comprimento e
a largura da base da pirâmide.
(a) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de em relação a
se
variar e
e
permanecerem constantes.
(a) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de
Considere uma pirâmide de base retangular, sabendo que o volume da pirâmide é
, onde
é a área da base e
é a altura da pirâmide. Sejam
o comprimento e
a largura da base da pirâmide.
(b) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de em relação a
se
variar e
e
permanecerem constantes.
(b) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de
Utilizando o método da variação dos parâmetros, determine a solução geral da EDO dada.
.