Calcule as derivadas parciais indicadas:
(d) f(x, y, z) = raiz(x^2 + 2y^2 + 3z^2), f_x(x, y, z), f_y(x, y, z), f_z(x, y, z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de várias variáveis: . Nosso objetivo aqui é calcular as derivadas parciais dessa função em relação a cada uma das variáveis , e . Para isso, vamos usar as regras básicas de derivação, focando em como derivar funções que têm mais de uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que é denotada por .
A função dada pode ser escrita como:
Para derivar essa função em relação a , usamos a regra da cadeia. Primeiro, derivamos a função de fora em relação ao que está dentro da raiz:
Agora, multiplicamos pela derivada da parte interna em relação a :
Então, a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , denotada por .
Usando a mesma técnica, começamos pela derivada da função externa:
Em seguida, derivamos a parte interna em relação a :
Multiplicando as duas partes, temos:

Passo 4

Por último, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é .
Seguindo o mesmo processo, derivamos a função externa:
Depois, derivamos a parte interna em relação a :
Multiplicando as duas partes, obtemos:

Resposta

As derivadas parciais são:

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