Calcule as derivadas parciais indicadas em cada item:
f(x, y)=(x^2+2 y^2)^5 cdot(3 x y-y^2)^3, partial fpartial y(x, y).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função:
f(x, y) = (x^2 + 2 y^2)^5 cdot (3 x y - y^2)^3
E queremos calcular a derivada parcial de f em relação a y, ou seja, partial fpartial y(x, y). Para isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação de funções de múltiplas variáveis, especificamente a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que f(x, y) é o produto de duas funções de y:
u(y) = (x^2 + 2 y^2)^5 e v(y) = (3 x y - y^2)^3
Para derivar o produto u cdot v, usamos a regra do produto, que diz que:
partial fpartial y = u' cdot v + u cdot v'

Passo 3

Vamos calcular u' e v' separadamente usando a regra da cadeia.
Para u(y) = (x^2 + 2 y^2)^5:
A derivada de u em relação a y é:
u' = 5 (x^2 + 2 y^2)^4 cdot (4 y)
Isso porque a derivada de (x^2 + 2 y^2) em relação a y é 4 y.
Para v(y) = (3 x y - y^2)^3:
A derivada de v em relação a y é:
v' = 3 (3 x y - y^2)^2 cdot (3 x - 2 y)

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do produto:
partial fpartial y = u' cdot v + u cdot v'
Substituindo os valores de u' e v' que encontramos:
partial fpartial y = 5 (x^2 + 2 y^2)^4 cdot (4 y) cdot (3 x y - y^2)^3 + (x^2 + 2 y^2)^5 cdot 3 (3 x y - y^2)^2 cdot (3 x - 2 y)

Resposta

Portanto, a derivada parcial de f(x, y) em relação a y é:
partial fpartial y = 20 y (x^2 + 2 y^2)^4 (3 x y - y^2)^3 + 3 (x^2 + 2 y^2)^5 (3 x y - y^2)^2 (3 x - 2 y)

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