Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação):
, onde com e .

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) , onde é uma função definida por partes:
Temos as condições iniciais e . Para resolver essa EDO, vamos usar o segundo teorema de translação, que nos ajuda a lidar com funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
A solução geral da equação homogênea é dada por:
onde e são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Como é uma função constante igual a 1 para , assumimos que a solução particular também é constante:
Substituindo na EDO:
Portanto, a solução particular é para .

Passo 4

A solução geral para é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .

Passo 5

Aplicando :
Aplicando :

Passo 6

Com os valores de e , a solução para fica:
Para , , então a equação homogênea permanece e ajustamos a solução para garantir a continuidade em .

Resposta

A solução da EDO é:
Com os valores das constantes já determinados pelas condições iniciais.

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Calcule as derivadas parciais indicadas em cada item:
.
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.
Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação):
, onde com .
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, onde com .