Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação):
, onde
com
e
.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO)
, onde
é uma função definida por partes:
Temos as condições iniciais
e
. Para resolver essa EDO, vamos usar o segundo teorema de translação, que nos ajuda a lidar com funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
A solução geral da equação homogênea é dada por:
onde
e
são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa. Como
é uma função constante igual a 1 para
, assumimos que a solução particular também é constante:
Substituindo na EDO:
Portanto, a solução particular é
para
.
Passo 4
A solução geral para
é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Passo 5
Aplicando
:
Aplicando
:
Passo 6
Com os valores de
e
, a solução para
fica:
Para
,
, então a equação homogênea permanece e ajustamos a solução para garantir a continuidade em
.
Resposta
A solução da EDO é:
Com os valores das constantes já determinados pelas condições iniciais.
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Calcule as derivadas parciais indicadas em cada item:
.
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.
Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação):
, onde
com
.
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, onde
com
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