Decida em cada caso se lim (x, y) (x0, y0) f(x, y) existe:
f(x, y)=x^2|x|+|y| e (x0, y0)=(0,0);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de limite em funções de duas variáveis. A questão pergunta se o limite de existe quando se aproxima de . Para resolver, vamos precisar entender como os limites funcionam em várias direções e verificar se o resultado é o mesmo por todos os caminhos que levam a .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite existir para funções de duas variáveis. O limite existe se, não importa por qual caminho se aproxima de , o valor de sempre tende para o mesmo número. Se encontrarmos pelo menos dois caminhos que dão resultados diferentes, o limite não existe.

Passo 3

Vamos começar avaliando o limite ao longo do eixo f(x, 0) = x^2|x| + 0 = x^2|x| = |x| , ou seja, quando limx to 0 |x| = 0 . Substituindo na função:
Agora, calculamos o limite quando tende a 0:
Então, ao longo do eixo , o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos avaliar o limite ao longo do eixo f(0, y) = 0^20 + |y| = 0 , ou seja, quando . Substituindo na função:
Portanto, ao longo do eixo , o limite também é 0.

Passo 5

Até aqui, ambos os caminhos deram o mesmo limite. Mas precisamos verificar outros caminhos para garantir que o limite realmente existe. Vamos escolher o caminho onde f(x, kx) = x^2|x| + |kx| = x^2|x|(1 + |k|) = |x|1 + |k| , onde limx to 0 |x|1 + |k| = 0 é uma constante.
Substituindo na função:
Agora, calculamos o limite quando tende a 0:
Então, para qualquer valor de , o limite ainda é 0.

Passo 6

Vamos testar um caminho diferente, como f(x, x^2) = x^2|x| + |x^2| = x^2|x| + x^2 = |x|1 + |x| , para ver se o limite ainda é 0.
Substituindo limx to 0 |x|1 + |x| = 0 na função:
Calculando o limite quando tende a 0:
Novamente, o limite é 0.

Passo 7

Como testamos vários caminhos diferentes (eixos e , caminho linear e caminho parabólico ) e em todos eles o limite foi 0, podemos concluir que o limite existe e é igual a 0.

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

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