Decida em cada caso se
existe:
e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de limite em funções de duas variáveis. A questão pergunta se o limite de
existe quando
se aproxima de
. Para resolver, vamos precisar entender como os limites funcionam em várias direções e verificar se o resultado é o mesmo por todos os caminhos que levam a
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite existir para funções de duas variáveis. O limite
existe se, não importa por qual caminho
se aproxima de
, o valor de
sempre tende para o mesmo número. Se encontrarmos pelo menos dois caminhos que dão resultados diferentes, o limite não existe.
Passo 3
Vamos começar avaliando o limite ao longo do eixo
, ou seja, quando
. Substituindo
na função:
Agora, calculamos o limite quando
tende a 0:
Então, ao longo do eixo
, o limite é 0.
Passo 4
Agora, vamos avaliar o limite ao longo do eixo
, ou seja, quando
. Substituindo
na função:
Portanto, ao longo do eixo
, o limite também é 0.
Passo 5
Até aqui, ambos os caminhos deram o mesmo limite. Mas precisamos verificar outros caminhos para garantir que o limite realmente existe. Vamos escolher o caminho onde
, onde
é uma constante.
Substituindo
na função:
Agora, calculamos o limite quando
tende a 0:
Então, para qualquer valor de
, o limite ainda é 0.
Passo 6
Vamos testar um caminho diferente, como
, para ver se o limite ainda é 0.
Substituindo
na função:
Calculando o limite quando
tende a 0:
Novamente, o limite é 0.
Passo 7
Como testamos vários caminhos diferentes (eixos
e
, caminho linear
e caminho parabólico
) e em todos eles o limite foi 0, podemos concluir que o limite existe e é igual a 0.
Resposta
O limite
existe e é igual a 0.
Exercícios relacionados
Decida em cada caso se
existe:
e
;
Esboce os gráficos das funções a seguir:
;
Calcule as derivadas parciais indicadas em cada item:
.
Calcule as derivadas parciais indicadas em cada item:
.