Decida em cada caso se
existe:
e
;
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se o limite de
existe quando
se aproxima de
. O conteúdo envolvido aqui é o estudo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que acontece quando nos aproximamos de
ao longo do eixo
, ou seja, quando
. Substituindo
na função, temos:
Agora, analisando os valores:
- Se
, então , então . - Se
, então , então .
Percebe-se que dependendo do sinal de
, o limite ao longo do eixo
pode ser
ou
.
Passo 3
Agora, vamos nos aproximar de
ao longo do eixo
, ou seja, quando
. Substituindo
na função, temos:
Aqui, independentemente do valor de
, o limite é sempre
.
Passo 4
Observamos que ao nos aproximarmos de
pelo eixo
, o limite pode ser
ou
, enquanto pelo eixo
o limite é
. Como estamos obtendo valores diferentes dependendo do caminho escolhido para nos aproximar de
, isso indica que o limite geral não existe.
Resposta
O limite
não existe porque valores diferentes são obtidos ao se aproximar de
por caminhos distintos.
Exercícios relacionados
Esboce os gráficos das funções a seguir:
;
Em cada item, calcule o domínio natural de definição das funções, esboçando-o no plano
.
;
Decida em cada caso se
existe:
e
;
Calcule as derivadas parciais indicadas em cada item:
.