Decida em cada caso se lim (x, y) (x0, y0) f(x, y) existe:
f(x, y)=x|x|+|y| e (x0, y0)=(0,0);

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se o limite de existe quando se aproxima de . O conteúdo envolvido aqui é o estudo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que acontece quando nos aproximamos de f(x, 0) = x|x| + 0 = x|x| ao longo do eixo , ou seja, quando . Substituindo na função, temos:
Agora, analisando os valores:
  • Se , então , então .
  • Se , então , então .
Percebe-se que dependendo do sinal de , o limite ao longo do eixo pode ser ou .

Passo 3

Agora, vamos nos aproximar de f(0, y) = 00 + |y| = 0 ao longo do eixo , ou seja, quando . Substituindo na função, temos:
Aqui, independentemente do valor de , o limite é sempre .

Passo 4

Observamos que ao nos aproximarmos de pelo eixo , o limite pode ser ou , enquanto pelo eixo o limite é . Como estamos obtendo valores diferentes dependendo do caminho escolhido para nos aproximar de , isso indica que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe porque valores diferentes são obtidos ao se aproximar de por caminhos distintos.

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