Decida em cada caso se existe:
e ;

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se o limite de existe quando se aproxima de . O conteúdo envolvido aqui é o estudo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que acontece quando nos aproximamos de ao longo do eixo , ou seja, quando . Substituindo na função, temos:
Agora, analisando os valores:
  • Se , então , então .
  • Se , então , então .
Percebe-se que dependendo do sinal de , o limite ao longo do eixo pode ser ou .

Passo 3

Agora, vamos nos aproximar de ao longo do eixo , ou seja, quando . Substituindo na função, temos:
Aqui, independentemente do valor de , o limite é sempre .

Passo 4

Observamos que ao nos aproximarmos de pelo eixo , o limite pode ser ou , enquanto pelo eixo o limite é . Como estamos obtendo valores diferentes dependendo do caminho escolhido para nos aproximar de , isso indica que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe porque valores diferentes são obtidos ao se aproximar de por caminhos distintos.

Exercícios relacionados

Esboce os gráficos das funções a seguir:
;
Em cada item, calcule o domínio natural de definição das funções, esboçando-o no plano .
;
Decida em cada caso se existe:
e ;
Calcule as derivadas parciais indicadas em cada item:
.