Calcule as derivadas parciais indicadas.
e
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos as derivadas parciais de uma função de duas variáveis. A função dada é
. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação para funções de várias variáveis, como a regra do produto, a regra da cadeia e a derivada da função arco-tangente (
).
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Quando derivamos em relação a
, tratamos
como uma constante.
A função pode ser vista como o produto de duas funções:
Então, usamos a regra do produto:
.
Primeiro, calculamos
:
Como e não depende de
, sua derivada em relação a
é zero:
Como
Agora, calculamos
:
Para , usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, então:
Para
Agora, aplicamos a regra do produto:
Passo 3
Agora vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente,
é um produto de
e
.
Usamos a regra do produto:
Primeiro, calculamos
:
Derivando em relação a
:
Derivando
Agora, calculamos
:
Para , usamos a regra da cadeia. Primeiro, a derivada de
em relação a
é
. Então:
Para
Agora, aplicamos a regra do produto:
Resposta
As derivadas parciais são:
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Calcule as derivadas parciais indicadas.
e
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Encontre as derivadas des seguintes funcoès:
Seja
. Determine:
.