Calcule as derivadas parciais indicadas. f(x, y) = y^(-3/2) arctg(x/y), fx(x, y) e f_y(x, y);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos as derivadas parciais de uma função de duas variáveis. A função dada é . Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação para funções de várias variáveis, como a regra do produto, a regra da cadeia e a derivada da função arco-tangente ( ).

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante.
A função pode ser vista como o produto de duas funções:
Então, usamos a regra do produto: .
Primeiro, calculamos :
Como e não depende de , sua derivada em relação a é zero:
Agora, calculamos :
Para , usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , então:
Agora, aplicamos a regra do produto:

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, é um produto de e .
Usamos a regra do produto:
Primeiro, calculamos :
Derivando em relação a :
Agora, calculamos :
Para , usamos a regra da cadeia. Primeiro, a derivada de em relação a é . Então:
Agora, aplicamos a regra do produto:

Resposta

As derivadas parciais são:

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