Seja f(x, y, z) = x^2 * y^4 * z^3 + x * y + z^2 + 1. Determine: f_z(1, 2, 3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada parcial de em relação a no ponto . Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente de derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar cada termo da função em relação a e depois substituir os valores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função que temos:
Nosso objetivo é encontrar , que significa a derivada parcial de em relação a avaliada no ponto .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de cada termo da função em relação a :
  1. Para , tratamos e como constantes. A derivada de em relação a é , então:
  1. Para , que não depende de , a derivada é 0:
  1. Para , a derivada é :
  1. Para a constante 1, a derivada também é 0:

Passo 4

Juntando todas as partes, a derivada parcial fica:

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores , e na expressão que obtivemos:

Passo 6

Calculando passo a passo:

  1. Então:

Resposta

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