Calcule as derivadas parciais indicadas.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo de derivadas parciais. O enunciado pede para calcularmos as derivadas parciais de duas funções em relação a
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar as regras de derivação, especialmente a regra da cadeia, que é muito útil quando temos funções compostas como a que estamos lidando.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial da função
em relação a
. A função que temos é
, onde
. Para derivar em relação a
, usamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de
em relação a
é
multiplicado pela derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada de
em relação a
. Como
é tratado como uma constante quando derivamos em relação a
, a derivada de
em relação a
é simplesmente
.
Passo 4
Agora, multiplicamos
pela derivada de
que encontramos. Então, a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular a derivada parcial da função
em relação a
. Novamente, temos
com
, e aplicamos a regra da cadeia. Precisamos encontrar a derivada de
em relação a
.
Passo 6
Derivando
em relação a
, usamos a regra do quociente. A derivada de
em relação a
é
.
Passo 7
Multiplicamos
pela derivada de
que acabamos de encontrar. Portanto, a derivada parcial de
em relação a
é:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
Encontre as derivadas des seguintes funcoès:
Determine
e
.
Calcule as derivadas parciais indicadas.
e
Calcule as derivadas parciais indicadas.
e
;