Calcule as derivadas parciais indicadas. z=4 e^x^2 y^3, partial z / partial x e partial z / partial y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular as derivadas parciais de em relação a e . Isso envolve conceitos de cálculo, especialmente derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivar funções exponenciais que têm funções dentro delas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular partial upartial x = 2x y^3 . Isso significa que vamos derivar em relação a , tratando como uma constante.
A função é . A derivada de em relação a é vezes a derivada de em relação a .
Aqui, . Então, primeiro derivamos em relação a :

Passo 3

Agora, aplicamos a regra da cadeia:
partial zpartial x = 4 e^x^2 y^3 cdot 2x y^3 = 8x y^3 e^x^2 y^3

Passo 4

Agora, vamos calcular partial upartial y = 3x^2 y^2 . Aqui, vamos derivar em relação a , tratando como uma constante.
Novamente, a função é . A derivada de em relação a é vezes a derivada de em relação a .
Dessa vez, . Derivando em relação a :

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia novamente:
partial zpartial y = 4 e^x^2 y^3 cdot 3x^2 y^2 = 12x^2 y^2 e^x^2 y^3

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = 8x y^3 e^x^2 y^3
e
partial zpartial y = 12x^2 y^2 e^x^2 y^3

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