Calcule as derivadas parciais indicadas:
(a) f(x, y) = cos(x * y^2 - 3 * x^3 - y), f_x(x, y), f_y(x, y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para a gente calcular as derivadas parciais da função . A matéria envolvida aqui são as derivadas parciais, que são usadas quando a função tem mais de uma variável. A gente vai precisar usar a regra da cadeia para derivar essa função direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que chamamos de . Para isso, a gente aplica a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que, se temos uma função composta, como onde , a derivada é a derivada de em relação a multiplicada pela derivada de em relação a .
Então, temos:
Agora, vamos derivar em relação a :
Então, substituindo de volta:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , chamada de . Novamente, usamos a regra da cadeia.
Derivando em relação a :
Substituindo de volta:

Resposta

As derivadas parciais são:

Exercícios relacionados

Nos exercícios de 33 a 36, use a definição de área como somatório, tomando x_k* como extremo direito, como extremo esquerdo e por fim como ponto médio de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f(x) acima do intervalo especificado.
f(x) = 4 - (1/4) x^2 ; [0, 3]
Seja f(x, y) = 3 x^3 y^2. Determine
© f_x(1, y)
Use a definição sobre áreas com limites de soma tomando x_k* como extremo esquerdo de cada subintervalo para encontrar a área abaixo do gráfico de y = m x e acima do intervalo [a, b], com m > 0 e a >= 0.
Nos problemas de 13 a 20, a matriz de coeficientes contém um parâmetro alpha. Em cada um desses problemas:
(a) Determine os autovalores em função de alpha.
(b) Encontre o valor ou valores críticos de alpha onde a natureza qualitativa do retrato de fase para o sistema muda.
© Desenhe retratos de fase para um valor de alpha ligeiramente menor, e para outro valor ligeiramente maior, de cada valor crítico.
x' = (0 -5 1 alpha) x