Nos exercícios de 33 a 36, use a definição de área como somatório, tomando x_k* como extremo direito, como extremo esquerdo e por fim como ponto médio de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f(x) acima do intervalo especificado.
f(x) = 4 - (1/4) x^2 ; [0, 3]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a área sob a curva da função no intervalo de . A gente vai usar a ideia de somatório, que é tipo somar várias retinhas para aproximar a área. Vamos precisar entender como funcionam os somatórios de Riemann usando os extremos (direito e esquerdo) e o ponto médio de cada subintervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo em subintervalos iguais. Para facilitar, vamos escolher um número específico, digamos . Assim, cada subintervalo terá largura .

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos de amostragem para cada tipo de somatório:
  • Extremo direito: Usa o limite direito de cada subintervalo.
    • Subintervalos:
    • Pontos: , ,
  • Extremo esquerdo: Usa o limite esquerdo de cada subintervalo.
    • Subintervalos:
    • Pontos: , ,
  • Ponto médio: Usa o ponto do meio de cada subintervalo.
    • Subintervalos:
    • Pontos: , ,

Passo 4

Vamos calcular o somatório para cada caso usando a fórmula de Riemann:
Á
onde é o ponto de amostragem (direito, esquerdo ou médio).

Passo 5

Extremo direito:
Á
Calculando cada termo:
Somando:

Passo 6

Extremo esquerdo:
Á
Calculando cada termo:
á
á
Somando:

Passo 7

Ponto médio:
Á
Calculando cada termo:
Somando:

Resposta

Usando somatórios de Riemann:
  • Extremo direito: Área ≈ 8.5
  • Extremo esquerdo: Área ≈ 10.75
  • Ponto médio: Área ≈ 9.8125

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