Use a definição sobre áreas com limites de soma tomando x_k* como extremo esquerdo de cada subintervalo para encontrar a área abaixo do gráfico de y = m x e acima do intervalo [a, b], com m > 0 e a >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício que pede para encontrar a área abaixo do gráfico de no intervalo , onde e . Para resolver isso, vamos usar a definição de área através de somas de Riemann, especificamente usando os extremos esquerdos de cada subintervalo. Isso vai envolver um pouco de cálculo e compreensão de somas de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo em subintervalos iguais. Cada subintervalo terá uma largura de:
Isso nos ajuda a aproximar a área total em pedaços menores que somaremos depois.

Passo 3

Agora, vamos escolher os pontos de amostragem em cada subintervalo. Como vamos usar os extremos esquerdos, o ponto de amostragem para o -ésimo subintervalo será:
Esses pontos representam o início de cada subintervalo onde vamos avaliar a função .

Passo 4

Com os pontos de amostragem definidos, a soma de Riemann usando os extremos esquerdos fica:
Substituindo :

Passo 5

Vamos simplificar a soma:
Sabemos que:
E:
Então:

Passo 6

Substituindo :
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito para encontrar a área exata:
Isso porque tende a 1 quando cresce sem limites.

Resposta

A área abaixo do gráfico de no intervalo é:

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas parciais indicadas:
(a) f(x, y) = cos(x * y^2 - 3 * x^3 - y), f_x(x, y), f_y(x, y)
Nos exercícios de 33 a 36, use a definição de área como somatório, tomando x_k* como extremo direito, como extremo esquerdo e por fim como ponto médio de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f(x) acima do intervalo especificado.
f(x) = 4 - (1/4) x^2 ; [0, 3]
Nos problemas de 13 a 20, a matriz de coeficientes contém um parâmetro alpha. Em cada um desses problemas:
(a) Determine os autovalores em função de alpha.
(b) Encontre o valor ou valores críticos de alpha onde a natureza qualitativa do retrato de fase para o sistema muda.
© Desenhe retratos de fase para um valor de alpha ligeiramente menor, e para outro valor ligeiramente maior, de cada valor crítico.
x' = (0 -5 1 alpha) x
(*) Uma partícula move-se ao longo de um eixo coordenado de tal forma que sua velocidade no instante t é v(t) = t^2 - 2 t m/s.
(b) encontre a distância total percorrida pela partícula no intervalo de tempo 0 <= t <= 3.