Use a definição sobre áreas com limites de soma tomando
como extremo esquerdo de cada subintervalo para encontrar a área abaixo do gráfico de
e acima do intervalo
, com
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício que pede para encontrar a área abaixo do gráfico de
no intervalo
, onde
e
. Para resolver isso, vamos usar a definição de área através de somas de Riemann, especificamente usando os extremos esquerdos de cada subintervalo. Isso vai envolver um pouco de cálculo e compreensão de somas de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o intervalo
em
subintervalos iguais. Cada subintervalo terá uma largura de:
Isso nos ajuda a aproximar a área total em pedaços menores que somaremos depois.
Passo 3
Agora, vamos escolher os pontos de amostragem em cada subintervalo. Como vamos usar os extremos esquerdos, o ponto de amostragem
para o
-ésimo subintervalo será:
Esses pontos representam o início de cada subintervalo onde vamos avaliar a função
.
Passo 4
Com os pontos de amostragem definidos, a soma de Riemann usando os extremos esquerdos fica:
Substituindo
:
Passo 5
Vamos simplificar a soma:
Sabemos que:
E:
Então:
Passo 6
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito para encontrar a área exata:
Isso porque
tende a 1 quando
cresce sem limites.
Resposta
A área abaixo do gráfico de
no intervalo
é:
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas parciais indicadas:
(a)
(a)
Nos exercícios de 33 a 36, use a definição de área como somatório, tomando
como extremo direito, como extremo esquerdo e por fim como ponto médio de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva
acima do intervalo especificado.
Nos problemas de 13 a 20, a matriz de coeficientes contém um parâmetro
. Em cada um desses problemas:
(a) Determine os autovalores em função de .
(b) Encontre o valor ou valores críticos de onde a natureza qualitativa do retrato de fase para o sistema muda.
© Desenhe retratos de fase para um valor de ligeiramente menor, e para outro valor ligeiramente maior, de cada valor crítico.
(a) Determine os autovalores em função de
(b) Encontre o valor ou valores críticos de
© Desenhe retratos de fase para um valor de
(*) Uma partícula move-se ao longo de um eixo coordenado de tal forma que sua velocidade no instante
é
.
(b) encontre a distância total percorrida pela partícula no intervalo de tempo .
(b) encontre a distância total percorrida pela partícula no intervalo de tempo