Use a definição sobre áreas com limites de soma tomando x_k* como extremo esquerdo de cada subintervalo para encontrar a área abaixo do gráfico de y = m x e acima do intervalo [a, b], com m > 0 e a >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício que pede para encontrar a área abaixo do gráfico de no intervalo , onde e . Para resolver isso, vamos usar a definição de área através de somas de Riemann, especificamente usando os extremos esquerdos de cada subintervalo. Isso vai envolver um pouco de cálculo e compreensão de somas de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo em subintervalos iguais. Cada subintervalo terá uma largura de:
Isso nos ajuda a aproximar a área total em pedaços menores que somaremos depois.

Passo 3

Agora, vamos escolher os pontos de amostragem em cada subintervalo. Como vamos usar os extremos esquerdos, o ponto de amostragem para o -ésimo subintervalo será:
Esses pontos representam o início de cada subintervalo onde vamos avaliar a função .

Passo 4

Com os pontos de amostragem definidos, a soma de Riemann usando os extremos esquerdos fica:
Substituindo :

Passo 5

Vamos simplificar a soma:
Sabemos que:
E:
Então:

Passo 6

Substituindo :
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito para encontrar a área exata:
Isso porque tende a 1 quando cresce sem limites.

Resposta

A área abaixo do gráfico de no intervalo é:

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