Nos problemas de 13 a 20, a matriz de coeficientes contém um parâmetro alpha. Em cada um desses problemas:
(a) Determine os autovalores em função de alpha.
(b) Encontre o valor ou valores críticos de alpha onde a natureza qualitativa do retrato de fase para o sistema muda.
© Desenhe retratos de fase para um valor de alpha ligeiramente menor, e para outro valor ligeiramente maior, de cada valor crítico.
x' = (0 -5 1 alpha) x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um sistema de equações diferenciais representado por uma matriz com um parâmetro . Precisamos:
a) Encontrar os autovalores em função de .
b) Descobrir os valores críticos de onde a natureza do sistema muda.
c) Desenhar os retratos de fase para valores de ligeiramente menores e maiores que cada valor crítico encontrado.
Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a): encontrar os autovalores da matriz em função de .
A matriz dada é:
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica:
onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Vamos calcular:
Então, temos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação, os autovalores são:

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): encontrar os valores críticos de onde a natureza do sistema muda.
A mudança na natureza do retrato de fase ocorre quando a discriminante da equação característica muda de sinal, ou seja, quando:
Resolvendo para :
Então, os valores críticos de são e .

Passo 4

Por último, vamos para a parte ©: desenhar os retratos de fase para valores de ligeiramente menores e maiores que cada valor crítico encontrado.
Vamos considerar dois casos:
  1. Para :
    • Valor ligeiramente menor: (onde é um número pequeno positivo).
      • A discriminante será ligeiramente negativa, indicando autovalores complexos conjugados com parte real igual a .
      • O sistema terá um foco ou centro estável/instável dependendo do sinal de .
    • Valor ligeiramente maior: .
      • A discriminante será positiva, indicando autovalores reais distintos.
      • O sistema terá um nó real, estável ou instável conforme o sinal dos autovalores.
  2. Para :
    • Valor ligeiramente menor: .
      • A discriminante será positiva, indicando autovalores reais distintos.
      • O comportamento será semelhante ao caso anterior, mas com sinais opostos.
    • Valor ligeiramente maior: .
      • A discriminante será negativa, indicando autovalores complexos conjugados.
      • O sistema terá um foco ou centro estável/instável conforme o sinal de .
Os retratos de fase específicos dependerão dos valores exatos escolhidos, mas essencialmente, os sistemas mudarão de focos/centros para nós reais ao cruzar os valores críticos de .

Resposta

a) Os autovalores são .
b) Os valores críticos de são .
c) Para ligeiramente menor que , o sistema apresenta autovalores complexos conjugados (foco/centro estável ou instável). Para ligeiramente maior que , os autovalores são reais e distintos (nó real estável ou instável). O mesmo ocorre para próximo a , invertendo a estabilidade. Os retratos de fase mudam de focos/centros para nós reais ao passar pelos valores críticos.

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