Nos problemas de 13 a 20, a matriz de coeficientes contém um parâmetro
. Em cada um desses problemas:
(a) Determine os autovalores em função de
.
(b) Encontre o valor ou valores críticos de
onde a natureza qualitativa do retrato de fase para o sistema muda.
© Desenhe retratos de fase para um valor de
ligeiramente menor, e para outro valor ligeiramente maior, de cada valor crítico.
(a) Determine os autovalores em função de
(b) Encontre o valor ou valores críticos de
© Desenhe retratos de fase para um valor de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um sistema de equações diferenciais representado por uma matriz com um parâmetro
. Precisamos:
a) Encontrar os autovalores em função de
.
b) Descobrir os valores críticos de
onde a natureza do sistema muda.
c) Desenhar os retratos de fase para valores de
ligeiramente menores e maiores que cada valor crítico encontrado.
Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a): encontrar os autovalores da matriz em função de
.
A matriz dada é:
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica:
onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores.
Vamos calcular:
Então, temos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação, os autovalores são:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b): encontrar os valores críticos de
onde a natureza do sistema muda.
A mudança na natureza do retrato de fase ocorre quando a discriminante da equação característica muda de sinal, ou seja, quando:
Resolvendo para
:
Então, os valores críticos de
são
e
.
Passo 4
Por último, vamos para a parte ©: desenhar os retratos de fase para valores de
ligeiramente menores e maiores que cada valor crítico encontrado.
Vamos considerar dois casos:
-
Para
: - Valor ligeiramente menor:
(onde é um número pequeno positivo). - A discriminante
será ligeiramente negativa, indicando autovalores complexos conjugados com parte real igual a . - O sistema terá um foco ou centro estável/instável dependendo do sinal de
.
- A discriminante
- Valor ligeiramente maior:
. - A discriminante será positiva, indicando autovalores reais distintos.
- O sistema terá um nó real, estável ou instável conforme o sinal dos autovalores.
- Valor ligeiramente menor:
-
Para
: - Valor ligeiramente menor:
. - A discriminante será positiva, indicando autovalores reais distintos.
- O comportamento será semelhante ao caso anterior, mas com sinais opostos.
- Valor ligeiramente maior:
. - A discriminante será negativa, indicando autovalores complexos conjugados.
- O sistema terá um foco ou centro estável/instável conforme o sinal de
.
- Valor ligeiramente menor:
Os retratos de fase específicos dependerão dos valores exatos escolhidos, mas essencialmente, os sistemas mudarão de focos/centros para nós reais ao cruzar os valores críticos de
.
Resposta
a) Os autovalores são
.
b) Os valores críticos de
são
.
c) Para
ligeiramente menor que
, o sistema apresenta autovalores complexos conjugados (foco/centro estável ou instável). Para
ligeiramente maior que
, os autovalores são reais e distintos (nó real estável ou instável). O mesmo ocorre para
próximo a
, invertendo a estabilidade. Os retratos de fase mudam de focos/centros para nós reais ao passar pelos valores críticos.
Exercícios relacionados
Use a definição sobre áreas com limites de soma tomando
como extremo esquerdo de cada subintervalo para encontrar a área abaixo do gráfico de
e acima do intervalo
, com
e
.
Calcule as derivadas parciais indicadas:
(a)
(a)
(*) Uma partícula move-se ao longo de um eixo coordenado de tal forma que sua velocidade no instante
é
.
(b) encontre a distância total percorrida pela partícula no intervalo de tempo .
(b) encontre a distância total percorrida pela partícula no intervalo de tempo
Esboce a curva de nível
com os valores especificados de
.