Calcule as derivadas parciais indicadas.
e
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de uma função
em relação a
e
. Isso faz parte do estudo de derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de várias variáveis e queremos ver como a função muda em relação a uma variável enquanto mantemos as outras constantes. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e as regras básicas de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Podemos reescrever
como:
Isso vai nos ajudar a aplicar a regra da cadeia de forma mais clara.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Para isso, tratamos
como uma constante.
Aplicando a regra da cadeia, temos:
Agora, vamos derivar a parte interna
em relação a
:
Passo 4
Substituindo de volta na expressão de
:
Podemos simplificar isso um pouco mais:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
como uma constante.
Usando novamente a regra da cadeia:
Derivando a parte interna em relação a
:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão de
:
E simplificando:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
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Seja
. Determine:
;
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