Resolva o PVI dy/dx = x / (x^2 + 9)^(1/2), y(4) = 2.

Passo 1

Oi! Vamos resolver juntos esse problema de valor inicial (PVI). A equação que temos é com a condição inicial . Isso está relacionado ao cálculo de integrais, ou seja, vamos integrar a função para encontrar .

Passo 2

Primeiro, precisamos integrar a função em relação a . A integral de é uma forma conhecida que pode ser resolvida por substituição.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então derivando ambos os lados, temos . Isso significa que .

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
Agora, integramos .

Passo 5

A integral de é , então:
Voltando para , temos .

Passo 6

Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração que precisamos encontrar usando a condição inicial.

Passo 7

Aplicamos a condição inicial :
Resolvendo para :

Resposta

A solução do PVI é .

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