Determine partial w / partial x, partial w / partial y e partial w / partial z w=raizx^2+y^2+z^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa encontrar as derivadas parciais dela em relação a , e . Isso faz parte do cálculo multivariável, onde analisamos como a função muda quando uma das variáveis muda, mantendo as outras constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar partial wpartial x = 12raizx^2 + y^2 + z^2 cdot partialpartial x(x^2 + y^2 + z^2) . Para isso, usamos a regra da cadeia. A função partialpartial x(x^2 + y^2 + z^2) = 2x é a raiz quadrada de partial wpartial x = 12raizx^2 + y^2 + z^2 cdot 2x = xraizx^2 + y^2 + z^2 , então vamos derivar isso em relação a .
Sabemos que a derivada de em relação a é . Aqui, .
Então,
Agora, derivando em relação a :
Substituindo de volta:

Passo 3

Agora, vamos para partial wpartial y = 12raizx^2 + y^2 + z^2 cdot partialpartial y(x^2 + y^2 + z^2) . O processo �� bem parecido com o que fizemos para partialpartial y(x^2 + y^2 + z^2) = 2y .
Usando a regra da cadeia:
partial wpartial y = 12raizx^2 + y^2 + z^2 cdot 2y = yraizx^2 + y^2 + z^2
Derivando em relação a :
Substituindo de volta:

Passo 4

Por fim, vamos encontrar partial wpartial z = 12raizx^2 + y^2 + z^2 cdot partialpartial z(x^2 + y^2 + z^2) . Seguindo o mesmo raciocínio:
partialpartial z(x^2 + y^2 + z^2) = 2z
Derivando em relação a partial wpartial z = 12raizx^2 + y^2 + z^2 cdot 2z = zraizx^2 + y^2 + z^2 :
Substituindo de volta:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial wpartial x = xraizx^2 + y^2 + z^2, partial wpartial y = yraizx^2 + y^2 + z^2, partial wpartial z = zraizx^2 + y^2 + z^2

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