Faça o que se pede.
(b) Encontre uma fórmula para a área abaixo de
acima do intervalo
, onde
.
(b) Encontre uma fórmula para a área abaixo de
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a fórmula para calcular a área que está abaixo da curva
e acima do intervalo
, onde
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração definida, que nos permite calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, entendamos que a área que queremos calcular pode ser obtida integrando a função
em relação a
no intervalo de
até
. A fórmula geral para a área
sob uma curva
entre
e
é:
No nosso caso, a função
é
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
na fórmula da área:
Aqui,
é a constante de Euler (aproximadamente 2,718), e como ela é uma constante multiplicativa, podemos fatorá-la para facilitar a integração:
Passo 4
Vamos calcular a integral de
em relação a
. A regra de integração para potências de
diz que:
Onde
é um número real e
é a constante de integração. Aplicando essa regra para
:
Passo 5
Substituindo a integral calculada de volta na expressão da área, temos:
Isso significa que devemos avaliar
nos limites
e
e subtrair os resultados:
Passo 6
Podemos simplificar a expressão fatorando
:
Resposta
A fórmula para a área abaixo de
no intervalo
, onde
, é: