Faça o que se pede.
(b) Encontre uma fórmula para a área abaixo de y = x^3 e acima do intervalo [a, b], onde a >= 0.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a fórmula para calcular a área que está abaixo da curva e acima do intervalo , onde . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração definida, que nos permite calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, entendamos que a área que queremos calcular pode ser obtida integrando a função em relação a no intervalo de até . A fórmula geral para a área sob uma curva entre e é:
No nosso caso, a função é .

Passo 3

Agora, vamos substituir na fórmula da área:
Aqui, é a constante de Euler (aproximadamente 2,718), e como ela é uma constante multiplicativa, podemos fatorá-la para facilitar a integração:

Passo 4

Vamos calcular a integral de em relação a . A regra de integração para potências de diz que:
Onde é um número real e é a constante de integração. Aplicando essa regra para :

Passo 5

Substituindo a integral calculada de volta na expressão da área, temos:
Isso significa que devemos avaliar nos limites e e subtrair os resultados:

Passo 6

Podemos simplificar a expressão fatorando :

Resposta

A fórmula para a área abaixo de no intervalo , onde , é:

Exercícios relacionados