Determine uma EDO linear homogênea cuja solução geral é dada por:
.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão pede. Queremos encontrar uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea cuja solução geral é dada por . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre EDOs lineares e as funções hiperbólicas
e .
Passo 2
Sabemos que uma EDO linear homogênea de segunda ordem tem a forma:
Como queremos uma equação com coeficientes constantes, assumiremos que
e
são constantes. Portanto, a equação fica:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
.
Passo 3
A solução geral dada é:
Sabemos que as soluções para a EDO linear homogênea são combinações lineares das funções que satisfazem a equação característica associada.
Passo 4
Vamos encontrar a equação característica. Se considerarmos soluções da forma
, substituímos na EDO para obter:
As soluções dessa equação são:
Comparando com as soluções hiperbólicas, que são combinações de
e , vemos que os valores reais do
devem ser relacionados aos coeficientes das funções hiperbólicas.
Passo 5
Sabemos que:
Portanto, as raízes da equação característica são
e
.
Passo 6
Tendo as raízes
e
, podemos escrever a equação característica:
Portanto, a equação característica é:
Passo 7
Voltando à forma da EDO, temos:
Assim, identificamos que
e
.
Resposta
A EDO linear homogênea cuja solução geral é é: