Determine uma EDO linear homogênea cuja solução geral é dada por: y = c1 cosh(7 x) + c2 senh(7 x).

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão pede. Queremos encontrar uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea cuja solução geral é dada por . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre EDOs lineares e as funções hiperbólicas e .

Passo 2

Sabemos que uma EDO linear homogênea de segunda ordem tem a forma:
Como queremos uma equação com coeficientes constantes, assumiremos que e são constantes. Portanto, a equação fica:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e .

Passo 3

A solução geral dada é:
Sabemos que as soluções para a EDO linear homogênea são combinações lineares das funções que satisfazem a equação característica associada.

Passo 4

Vamos encontrar a equação característica. Se considerarmos soluções da forma , substituímos na EDO para obter:
As soluções dessa equação são:
Comparando com as soluções hiperbólicas, que são combinações de e , vemos que os valores reais do devem ser relacionados aos coeficientes das funções hiperbólicas.

Passo 5

Sabemos que:
Portanto, as raízes da equação característica são e .

Passo 6

Tendo as raízes e , podemos escrever a equação característica:
Portanto, a equação característica é:

Passo 7

Voltando à forma da EDO, temos:
Assim, identificamos que e .

Resposta

A EDO linear homogênea cuja solução geral é é:

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