Calcule as derivadas parciais indicadas. z=raizx^2+4 y^2, partial z / partial x(1,2) e partial z / partial y(1,2).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais de em relação a e no ponto . O conteúdo envolvido aqui são derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda quando apenas uma das variáveis ou varia, mantendo a outra constante. Para resolver, precisaremos usar as regras de derivação para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função pode ser reescrita como . Para derivar esta função em relação a , usamos a regra da cadeia, que nos diz como derivar funções compostas.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia:
partial zpartial x = 12(x^2 + 4y^2)^-1/2 cdot 2x = xraizx^2 + 4y^2

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor de partial zpartial x(1,2) = 1raiz1^2 + 4(2)^2 = 1raiz1 + 16 = 1raiz17 no ponto :
Substituindo e na expressão:

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Usando novamente a função , aplicamos a regra da cadeia para derivar em relação a .

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia:
partial zpartial y = 12(x^2 + 4y^2)^-1/2 cdot 8y = 4yraizx^2 + 4y^2

Passo 7

Agora, vamos calcular o valor de partial zpartial y(1,2) = 4 cdot 2raiz1^2 + 4(2)^2 = 8raiz1 + 16 = 8raiz17 no ponto :
Substituindo e na expressão:

Resposta

As derivadas parciais no ponto partial zpartial x(1,2) = 1raiz17 são:
partial zpartial y(1,2) = 8raiz17
e

Exercícios relacionados