Calcule as derivadas parciais indicadas. z=x yx^2+y^2, partial z / partial x e partial z / partial y;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem a função e precisa calcular as derivadas parciais e . Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente às derivadas parciais, que são usadas para entender como a função muda em relação a cada variável individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular partial zpartial x = v partial upartial x - u partial vpartial xv^2 . Para isso, trataremos como uma constante e aplicaremos a regra do quociente, que é usada quando temos uma função dividida por outra.
A regra do quociente diz que se , então:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas necessárias:
partial upartial x = partial (x y)partial x = y
partial vpartial x = partial (x^2 + y^2)partial x = 2x

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do quociente:
partial zpartial x = (x^2+y^2) cdot y - (x y) cdot 2x(x^2+y^2)^2
Simplificando o numerador:
(x^2+y^2) y - 2x^2 y = y^3 - x^2 y
Então:
partial zpartial x = y^3 - x^2 y(x^2+y^2)^2 = y (y^2 - x^2)(x^2+y^2)^2

Passo 5

Agora, vamos calcular partial upartial y = partial (x y)partial y = x . Novamente, usamos a regra do quociente, mas agora tratando partial vpartial y = partial (x^2 + y^2)partial y = 2y como constante.
Primeiro, encontramos as derivadas:

Passo 6

Aplicando a regra do quociente:
partial zpartial y = (x^2+y^2) cdot x - (x y) cdot 2y(x^2+y^2)^2
Simplificando o numerador:
(x^2+y^2) x - 2x y^2 = x^3 - x y^2
Então:
partial zpartial y = x^3 - x y^2(x^2+y^2)^2 = x (x^2 - y^2)(x^2+y^2)^2

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = y (y^2 - x^2)(x^2+y^2)^2
e
partial zpartial y = x (x^2 - y^2)(x^2+y^2)^2

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