Calcule as derivadas parciais indicadas.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de em relação a
e a
. Isso está dentro da matéria de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é uma técnica para derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A função
é uma função composta, onde a função externa é o seno () e a função interna é
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia, a derivada da função composta em relação a
é
multiplicado pela derivada de
em relação a
, onde
. Então:
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
. Como
é tratado como uma constante ao derivar em relação a
:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial de
em relação a
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Novamente, usamos a regra da cadeia.
Passo 7
Derivando
em relação a
:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial de
em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de são:
e