Calcule as derivadas parciais indicadas. z=sen(5 x^3 y+7 x y^2) ; partial zpartial x, partial zpartial y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de em relação a e a . Isso está dentro da matéria de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é uma técnica para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A função é uma função composta, onde a função externa é o seno () e a função interna é .

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, a derivada da função composta em relação a partial zpartial x = cos(5x^3 y + 7x y^2) cdot partialpartial x(5x^3 y + 7x y^2) é multiplicado pela derivada de em relação a , onde . Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar partial upartial x = 5 cdot 3x^2 y + 7 cdot y^2 = 15x^2 y + 7y^2 em relação a . Como é tratado como uma constante ao derivar em relação a :

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial de partial zpartial x = cos(5x^3 y + 7x y^2) cdot (15x^2 y + 7y^2) em relação a :

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial y = cos(5x^3 y + 7x y^2) cdot partialpartial y(5x^3 y + 7x y^2) em relação a , ou seja, . Novamente, usamos a regra da cadeia.

Passo 7

Derivando partial upartial y = 5x^3 + 7x cdot 2y = 5x^3 + 14xy em relação a :

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial de partial zpartial y = cos(5x^3 y + 7x y^2) cdot (5x^3 + 14xy) em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de são:
partial zpartial x = cos(5x^3 y + 7x y^2) cdot (15x^2 y + 7y^2)
e
partial zpartial y = cos(5x^3 y + 7x y^2) cdot (5x^3 + 14xy)

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