Nos exercícios 18. a 21. determime o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função dada:
Vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas, valores absolutos e como esses elementos influenciam o comportamento da função.

Passo 2

Domínio é o conjunto de valores de para os quais a função está definida. No nosso caso, a função está definida para:
Então, o domínio da função é todo o intervalo de entre e .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a imagem da função, ou seja, os possíveis valores que pode assumir.
Primeiro, vamos analisar a parte interna do valor absoluto:
Sabemos que a função seno, , varia entre e . Então, também varia entre e . Subtraindo , temos:
Portanto, a expressão dentro do valor absoluto varia de a . Agora, aplicando o valor absoluto:
Os valores negativos se tornam positivos, então a expressão final varia de (quando ) a (quando ).
Assim, a imagem da função é:

Passo 4

Para esboçar o gráfico de , vamos entender como a função se comporta no intervalo dado.
  1. Período da Função Seno: A função tem um período de , o que significa que completa um ciclo completo nesse intervalo de .
  2. Transformação pela Subtração: Subtrair desloca o gráfico da função seno para baixo.
  3. Valor Absoluto: Aplicar o valor absoluto faz com que todas as partes negativas do gráfico se tornem positivas, criando “reflexos” acima do eixo .
Então, o gráfico de será uma onda seno modificada que nunca fica abaixo de e oscila até no intervalo de a .

Resposta

  • Domínio:
  • Imagem:
  • Gráfico: Trata-se de uma onda senoidal transformada pela função , que oscila entre e no intervalo de a , com reflexos acima do eixo devido ao valor absoluto.

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Seja . Determine: ;
Encontre as derivadas des seguintes funcoès:
Seja . Determine: ;
Calcule as derivadas parciais indicadas. .