Descreva as parametrizações e calcule o vetor normal associado às seguintes superfícies:
© elipsoide: x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1;

Passo 1

Beleza! Temos que trabalhar com a equação de um elipsoide, que é x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1. O que precisamos fazer aqui é encontrar uma parametrização para essa superfície e calcular o vetor normal associado a ela. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo vetorial e geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma parametrização. Basicamente, é uma maneira de representar cada ponto da superfície usando um ou mais parâmetros. No caso do elipsoide, podemos usar dois parâmetros, geralmente denotados por theta e phi, que são ângulos semelhantes aos usados em coordenadas esféricas.

Passo 3

Vamos definir a parametrização do elipsoide usando esses parâmetros:
Aqui, theta varia de 0 a pi e phi de 0 a . Essa parametrização garante que todos os pontos que satisfazem a equação do elipsoide sejam cobertos.

Passo 4

Agora, vamos calcular o vetor normal à superfície. Para isso, precisamos encontrar o gradiente da função que define a superfície. A função é:
O gradiente de F é dado por:

Passo 5

O vetor normal à superfície é exatamente o gradiente de F. Portanto, o vetor normal N é:
Podemos simplificar esse vetor dividindo todos os componentes por 2, já que a direção é o que importa para o vetor normal:

Resposta

A parametrização do elipsoide é:
E o vetor normal à superfície do elipsoide é:

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