Descreva as parametrizações e calcule o vetor normal associado às seguintes superfícies:
© elipsoide: ;

Passo 1

Beleza! Temos que trabalhar com a equação de um elipsoide, que é . O que precisamos fazer aqui é encontrar uma parametrização para essa superfície e calcular o vetor normal associado a ela. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo vetorial e geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma parametrização. Basicamente, é uma maneira de representar cada ponto da superfície usando um ou mais parâmetros. No caso do elipsoide, podemos usar dois parâmetros, geralmente denotados por e , que são ângulos semelhantes aos usados em coordenadas esféricas.

Passo 3

Vamos definir a parametrização do elipsoide usando esses parâmetros:
Aqui, varia de a e de a . Essa parametrização garante que todos os pontos que satisfazem a equação do elipsoide sejam cobertos.

Passo 4

Agora, vamos calcular o vetor normal à superfície. Para isso, precisamos encontrar o gradiente da função que define a superfície. A função é:
O gradiente de é dado por:

Passo 5

O vetor normal à superfície é exatamente o gradiente de . Portanto, o vetor normal é:
Podemos simplificar esse vetor dividindo todos os componentes por 2, já que a direção é o que importa para o vetor normal:

Resposta

A parametrização do elipsoide é:
E o vetor normal à superfície do elipsoide é:

Exercícios relacionados

Mostre que a função é contínua em considere .
Calcule as derivadas parciais pelo método prático:
Descreva as parametrizações e calcule o vetor normal associado às seguintes superfícies:
(a) esfera;
Considere a função dada por:
Verifique que temos uma parametrização da região aberta .