Calcule as derivadas parciais de
ordem das seguintes funções:
.
Passo 1
Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso significa que vamos encontrar como a função muda em relação a
e
separadamente. Para isso, vamos usar as regras de derivação para funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Aqui, consideramos
como uma constante.
A função
é uma fração, então vamos usar a regra do quociente para derivar. A regra do quociente diz que se temos uma função
, sua derivada é
.
Passo 3
Identificamos:
Agora, vamos derivar
em relação a
:
E derivar
em relação a
:
Passo 4
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar o termo
:
Passo 6
Simplificando ainda mais, temos:
Passo 7
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Neste caso, consideramos
como uma constante.
Usamos novamente a regra do quociente:
Onde agora:
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Passo 8
Aplicando a regra do quociente:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
e