Calcule as derivadas parciais de 1^a ordem das seguintes funções: (0,5) f(x, y) = y * ln(x^2) / (x^2 + y^2).

Passo 1

Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso significa que vamos encontrar como a função muda em relação a e separadamente. Para isso, vamos usar as regras de derivação para funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial em relação a , ou seja, . Aqui, consideramos como uma constante.
A função é uma fração, então vamos usar a regra do quociente para derivar. A regra do quociente diz que se temos uma função , sua derivada é .

Passo 3

Identificamos:
Agora, vamos derivar em relação a :
E derivar em relação a :

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar o termo :

Passo 6

Simplificando ainda mais, temos:

Passo 7

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a , ou seja, . Neste caso, consideramos como uma constante.
Usamos novamente a regra do quociente:
Onde agora:
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :

Passo 8

Aplicando a regra do quociente:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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