Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de cálculo de gradiente e taxa de variação em funções de duas variáveis. Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e entender o que é o gradiente de uma função. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ou seja, vamos calcular e .
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :
Passo 4
Então, o gradiente de é:
Passo 5
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto . Substituímos e nas derivadas parciais que encontramos:
Então, o gradiente no ponto é:
Passo 6
Para determinar a taxa de variação de em na direção do vetor , usamos o produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor :