(a) Determine o gradiente de f. (b) Calcule o gradiente no ponto P.
© Determine a taxa de variação de f em P na direçăo do vetor u.
f(x, y) = y ln(x), P(1, -3), u = <-4/5, 2/5>

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de cálculo de gradiente e taxa de variação em funções de duas variáveis. Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e entender o que é o gradiente de uma função. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ou seja, vamos calcular e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Então, o gradiente de é:

Passo 5

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto . Substituímos e nas derivadas parciais que encontramos:
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 6

Para determinar a taxa de variação de em na direção do vetor , usamos o produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor :

Resposta

(a) O gradiente de é .
(b) No ponto , o gradiente é .
© A taxa de variação de em na direção de é .

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