(a) Determine o gradiente de f. (b) Calcule o gradiente no ponto P.
© Determine a taxa de variação de f em P na direçăo do vetor u.
f(x, y) = 5xy^2 - 4x^3y, P(1, 2), u = <2/12, 12/1>

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta tem três partes:
a) Encontrar o gradiente da função .
b) Calcular esse gradiente no ponto .
c) Determinar a taxa de variação de em na direção do vetor .
Para isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calcular taxas de variação na direção de um vetor. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ele aponta na direção de maior crescimento da função.
Então, para , precisamos calcular:

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial em relação a :
Aqui, tratamos como uma constante e aplicamos a regra da potência.

Passo 4

Agora, a derivada parcial em relação a :
Novamente, tratamos como constante e aplicamos a regra da potência.

Passo 5

Com as derivadas parciais, o gradiente de é:

Passo 6

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto . Basta substituir e nas expressões que encontramos:
Então, o gradiente em é:

Passo 7

Para encontrar a taxa de variação de em na direção do vetor , precisamos seguir estes passos:
  1. Normalizar o vetor para obter um vetor unitário .
  2. Calcular o produto escalar do gradiente em com .

Passo 8

Primeiro, vamos normalizar :
Então, o vetor unitário é:

Passo 9

Agora, calculamos o produto escalar entre e :
çã

Resposta

A taxa de variação de em na direção do vetor é .

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