Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta tem três partes:
a) Encontrar o gradiente da função .
b) Calcular esse gradiente no ponto .
c) Determinar a taxa de variação de em na direção do vetor .
Para isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calcular taxas de variação na direção de um vetor. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ele aponta na direção de maior crescimento da função.
Então, para , precisamos calcular:
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial em relação a :
Aqui, tratamos como uma constante e aplicamos a regra da potência.
Passo 4
Agora, a derivada parcial em relação a :
Novamente, tratamos como constante e aplicamos a regra da potência.
Passo 5
Com as derivadas parciais, o gradiente de é:
Passo 6
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto . Basta substituir e nas expressões que encontramos:
Então, o gradiente em é:
Passo 7
Para encontrar a taxa de variação de em na direção do vetor , precisamos seguir estes passos: