Determine, caso existam, os seguintes limites: (0,5) lim (x, y) (0,0) 5 x^2 yraizx^2+y^2

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, , e queremos encontrar o limite dessa função quando o ponto se aproxima de . Isso faz parte do estudo de limites de funções de várias variáveis.

Passo 2

Para resolver esse tipo de limite, uma estratégia comum é verificar o valor do limite ao se aproximar de por diferentes caminhos. Se todos os caminhos resultarem no mesmo valor, podemos concluir que o limite existe e é igual a esse valor.

Passo 3

Vamos primeiro considerar o caminho onde f(x, 0) = 5x^2 cdot 0raizx^2+0 = 0 . Substituindo na função:
Portanto, ao se aproximar de pelo eixo , o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos considerar o caminho onde f(0, y) = 5 cdot 0^2 cdot yraiz0 + y^2 = 0 . Substituindo na função:
Assim, ao se aproximar de pelo eixo , o limite também é 0.

Passo 5

Vamos testar um caminho mais geral, por exemplo, f(x, kx) = 5x^2 cdot kxraizx^2 + (kx)^2 = 5k x^3x raiz1 + k^2 = 5k x^2raiz1 + k^2 , onde limx to 0 5k x^2raiz1 + k^2 = 0 é uma constante. Substituindo na função:
Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0, então:
Portanto, ao se aproximar de por qualquer linha reta , o limite é 0.

Passo 6

Para garantir que o limite é realmente 0 independentemente do caminho escolhido, podemos usar uma estimativa de módulo. Vamos calcular o valor absoluto da função:
| f(x, y) | = | 5x^2 yraizx^2+y^2 | <= 5 |x|^2 |y| cdot 1raizx^2+y^2 <= 5 |x| |y|
Observe que | f(x, y) | <= 5 cdot x^2 + y^22 = 52 (x^2 + y^2) é menor ou igual a , então temos:
Quando se aproxima de , tende a 0, o que implica que também tende a 0.

Resposta

O limite existe e é igual a .

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