Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, , e queremos encontrar o limite dessa função quando o ponto se aproxima de . Isso faz parte do estudo de limites de funções de várias variáveis.
Passo 2
Para resolver esse tipo de limite, uma estratégia comum é verificar o valor do limite ao se aproximar de por diferentes caminhos. Se todos os caminhos resultarem no mesmo valor, podemos concluir que o limite existe e é igual a esse valor.
Passo 3
Vamos primeiro considerar o caminho onde . Substituindo na função:
Portanto, ao se aproximar de pelo eixo , o limite é 0.
Passo 4
Agora, vamos considerar o caminho onde . Substituindo na função:
Assim, ao se aproximar de pelo eixo , o limite também é 0.
Passo 5
Vamos testar um caminho mais geral, por exemplo, , onde é uma constante. Substituindo na função:
Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0, então:
Portanto, ao se aproximar de por qualquer linha reta , o limite é 0.
Passo 6
Para garantir que o limite é realmente 0 independentemente do caminho escolhido, podemos usar uma estimativa de módulo. Vamos calcular o valor absoluto da função:
Observe que | f(x, y) | <= 5 cdot x^2 + y^22 = 52 (x^2 + y^2) é menor ou igual a , então temos:
Quando se aproxima de , tende a 0, o que implica que também tende a 0.