(a) Determine o gradiente de f. (b) Calcule o gradiente no ponto P.
© Determine a taxa de variação de f em P na direçăo do vetor u.
f(x, y, z) = raiz(x + y * z), P(1, 3, 1), u = (2/7, 2/7, 6/7)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função e um ponto específico junto com um vetor . Precisamos:
a) Determinar o gradiente de .
b) Calcular o gradiente no ponto .
c) Encontrar a taxa de variação de em na direção do vetor .
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo multivariado, especialmente derivadas parciais e o conceito de gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de uma função. O gradiente de , denotado por , é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação às suas variáveis. Para uma função de três variáveis, ele é dado por:
Nosso objetivo no item (a) é encontrar essas derivadas parciais.

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, o gradiente de é:
Isso resolve o item (a) do exercício.

Passo 5

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto . Substituindo , e na expressão do gradiente:
Primeiro, calculamos :
Então, o gradiente no ponto é:
Isso resolve o item (b) do exercício.

Passo 6

Finalmente, para determinar a taxa de variação de em na direção do vetor , usamos o produto escalar entre o gradiente de no ponto e o vetor :
çã
Calculando o produto escalar:
çã

Resposta

A taxa de variação de no ponto na direção do vetor é .

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