(a) Determine o gradiente de
. (b) Calcule o gradiente no ponto
.
© Determine a taxa de variação de
na direçăo do vetor
.
© Determine a taxa de variação de
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
e um ponto específico
junto com um vetor
. Precisamos:
a) Determinar o gradiente de
.
b) Calcular o gradiente no ponto
.
c) Encontrar a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo multivariado, especialmente derivadas parciais e o conceito de gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de uma função. O gradiente de
, denotado por
, é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação às suas variáveis. Para uma função de três variáveis, ele é dado por:
Nosso objetivo no item (a) é encontrar essas derivadas parciais.
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Com as derivadas parciais calculadas, o gradiente de
é:
Isso resolve o item (a) do exercício.
Passo 5
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
. Substituindo
,
e
na expressão do gradiente:
Primeiro, calculamos
:
Então, o gradiente no ponto
é:
Isso resolve o item (b) do exercício.
Passo 6
Finalmente, para determinar a taxa de variação de
em
na direção do vetor
, usamos o produto escalar entre o gradiente de
no ponto
e o vetor
:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A taxa de variação de
no ponto
na direção do vetor
é
.