Calcule as derivadas parciais de 1^a ordem das seguintes funções: 0,5 f(x, y) = e^(x^2 + y^2) cos(3 x^3 - 4 y^4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde a gente analisa como a função muda quando a gente varia uma das variáveis, mantendo a outra fixa. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A função é um produto de duas funções: e . Quando derivamos um produto, usamos a regra do produto, que diz que a derivada do produto é a derivada da primeira função vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.

Passo 3

Vamos aplicar a regra do produto:

Passo 4

Agora, vamos derivar cada parte:
  1. Derivada de em relação a :
    Aqui usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde .
  2. Derivada de em relação a :
    Novamente, usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde .

Passo 5

Substituindo as derivadas no passo 3:

Passo 6

Podemos simplificar fatorando :

Passo 7

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Novamente, usamos a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 8

Derivando cada parte:
  1. Derivada de em relação a :
  2. Derivada de em relação a :

Passo 9

Substituindo as derivadas no passo 7:

Passo 10

Fatorando :

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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