Calcule as derivadas parciais de
ordem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde a gente analisa como a função muda quando a gente varia uma das variáveis, mantendo a outra fixa. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A função
é um produto de duas funções:
e
. Quando derivamos um produto, usamos a regra do produto, que diz que a derivada do produto é a derivada da primeira função vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.
Passo 3
Vamos aplicar a regra do produto:
Passo 4
Agora, vamos derivar cada parte:
-
Derivada de
em relação a : Aqui usamos a regra da cadeia. A derivada deé , onde . -
Derivada de
em relação a : Novamente, usamos a regra da cadeia. A derivada deé , onde .
Passo 5
Substituindo as derivadas no passo 3:
Passo 6
Podemos simplificar fatorando
:
Passo 7
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Novamente, usamos a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 8
Derivando cada parte:
-
Derivada de
em relação a : -
Derivada de
em relação a :
Passo 9
Substituindo as derivadas no passo 7:
Passo 10
Fatorando
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são: