a) ∀ x, x > b/a ⇒ a x > b
b) para todo x, a*x > b implica x > b/a
c) ∀ x, a x > b ⇒ x > b/a ∨ x < b/a
d) forall x, x > b/a ou x < b/a implica a*x > b
e) ∀x, a*x > b ⇒ (a > 0 e x > b/a) ou (a < 0 e x < b/a)
f) ∀x, a x > b ⇔ (a > 0 e x > b/a) ou (a < 0 e x < b/a)

Passo 1

Beleza, vamos primeiro entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma série de afirmações (a a f) que envolvem desigualdades e implicações matemáticas. O conteúdo aqui é Álgebra, mais especificamente sobre propriedades das desigualdades quando multiplicamos ou dividimos por números positivos ou negativos. Para resolver, vamos precisar lembrar como as desigualdades se comportam nessas situações.

Passo 2

Vamos analisar a afirmação (a): ∀ x, x > b/a ⇒ a x > b. Isso significa que para todo x, se x é maior que b/a, então a multiplicação de a por x é maior que b. Aqui, precisamos considerar o sinal de a. Se a for positivo, multiplicar ambos os lados da desigualdade por a mantém a direção da desigualdade. Mas se a for negativo, a direção muda.

Passo 3

Agora, a afirmação (b): para todo x, a*x > b implica x > b/a. Aqui, estamos dizendo que se a x é maior que b, então x é maior que b/a. Novamente, o sinal de a é crucial. Se a for positivo, a afirmação está correta. Se a for negativo, a desigualdade inverte, então a afirmação não seria válida.

Passo 4

Vamos para a afirmação ©: ∀ x, a x > b ⇒ x > b/a ∨ x < b/a. Isso está dizendo que se a x é maior que b, então x é ou maior ou menor que b/a. Isso é sempre verdadeiro, já que qualquer número x além de ser diferente de b/a, será maior ou menor que b/a.

Passo 5

Na afirmação (d): forall x, x > b/a ou x < b/a implica a*x > b. Aqui, se x é maior ou menor que b/a, então a x é maior que b. Mas isso não é sempre verdadeiro, porque se a for negativo e x for menor que b/a, a x pode ser maior que b. Portanto, essa afirmação não é sempre verdadeira.

Passo 6

Vamos para a afirmação (e): . Isso está detalhando que se a x é maior que b, então ou a é positivo e x é maior que b/a, ou a é negativo e x é menor que b/a. Essa afirmação está correta porque considera o caso do sinal de a.

Passo 7

Por fim, a afirmação (f): . Aqui, estamos dizendo que a x ser maior que b é exatamente igual à condição onde a é positivo e x é maior que b/a ou a é negativo e x é menor que b/a. Essa é uma equivalência correta porque cobre todos os casos possíveis do sinal de a.

Resposta

As afirmações corretas são: a), b), c), e), e f).

Exercícios relacionados