Determine a derivada direcional da funçalo no ponto dado na direçalo do vetor v.
f(x, y) = 1 + 2 pi raiz(y), (3, 4), v = (4, -3)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para encontrar a derivada direcional da função no ponto (3, 4) na direção do vetor . Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada direcional, que envolve calcular o gradiente da função e depois fazer o produto escalar com o vetor direção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada uma das suas variáveis. Então, temos:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Isso porque a função não depende de , então a derivada é zero.

Passo 4

Agora, calculando a derivada parcial de em relação a :
Simplificamos a derivada usando a regra da potência.

Passo 5

Então, o gradiente da função fica:
Agora, vamos avaliar esse gradiente no ponto dado, que é (3, 4).

Passo 6

Substituindo na expressão do gradiente:
Então, o gradiente no ponto (3, 4) é .

Passo 7

Agora, precisamos achar a direção do vetor . Para isso, vamos primeiro transformar esse vetor em um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1. A fórmula para o vetor unitário é:
Onde é a norma do vetor , calculada por:
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 8

Finalmente, a derivada direcional é calculada pelo produto escalar entre o gradiente de no ponto e o vetor unitário :

Resposta

A derivada direcional de no ponto (3, 4) na direção do vetor é .

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