Determine a derivada direcional da funçalo no ponto dado na direçalo do vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para encontrar a derivada direcional da função
no ponto (3, 4) na direção do vetor
. Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada direcional, que envolve calcular o gradiente da função e depois fazer o produto escalar com o vetor direção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada uma das suas variáveis. Então, temos:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Isso porque a função não depende de
, então a derivada é zero.
Passo 4
Agora, calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Simplificamos a derivada usando a regra da potência.
Passo 5
Então, o gradiente da função
fica:
Agora, vamos avaliar esse gradiente no ponto dado, que é (3, 4).
Passo 6
Substituindo
na expressão do gradiente:
Então, o gradiente no ponto (3, 4) é
.
Passo 7
Agora, precisamos achar a direção do vetor
. Para isso, vamos primeiro transformar esse vetor em um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1. A fórmula para o vetor unitário
é:
Onde
é a norma do vetor
, calculada por:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 8
Finalmente, a derivada direcional
é calculada pelo produto escalar entre o gradiente de
no ponto e o vetor unitário
:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto (3, 4) na direção do vetor
é
.