Determine a derivada direcional da funçalo no ponto dado na direçalo do vetor v.
f(x, y, z) = x * e^y + y * e^2 + z * e^2, (0, 0, 0), v = (5, 1, -2)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de três variáveis:
Nosso objetivo é encontrar a derivada direcional dessa função no ponto na direção do vetor .
Para resolver isso, vamos precisar do conceito de derivada direcional, que mede a taxa de variação da função em uma direção específica. Também precisamos saber como calcular o gradiente da função e como normalizar o vetor direção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Então, calculamos:
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Calculando a derivada parcial em relação a :

Passo 5

Calculando a derivada parcial em relação a :

Passo 6

Agora, juntando todas as derivadas parciais, o gradiente da função é:

Passo 7

Vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 8

O próximo passo é normalizar o vetor direção . A normalização consiste em dividir o vetor pelo seu comprimento (módulo).
Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 9

Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
Isso significa que vamos calcular o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário.

Passo 10

Substituindo os valores que temos:
Calculando o produto escalar:
Simplificando:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção do vetor é:

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