Determine a derivada direcional da funçalo no ponto dado na direçalo do vetor
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de três variáveis:
Nosso objetivo é encontrar a derivada direcional dessa função no ponto
na direção do vetor
.
Para resolver isso, vamos precisar do conceito de derivada direcional, que mede a taxa de variação da função em uma direção específica. Também precisamos saber como calcular o gradiente da função e como normalizar o vetor direção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Então, calculamos:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Passo 5
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Passo 6
Agora, juntando todas as derivadas parciais, o gradiente da função é:
Passo 7
Vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 8
O próximo passo é normalizar o vetor direção
. A normalização consiste em dividir o vetor pelo seu comprimento (módulo).
Primeiro, calculamos o módulo de
:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 9
Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
Isso significa que vamos calcular o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário.
Passo 10
Substituindo os valores que temos:
Calculando o produto escalar:
Simplificando:
Resposta
A derivada direcional da função no ponto
na direção do vetor
é: