Calcule as derivadas parciais partial fpartial x, partial fpartial y e partial fpartial z para:
f(x, y)=3 x^3-4 x^2 y+3 x y^2+sen(x y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular as derivadas parciais de uma função em relação a f(x, y) = 3x^3 - 4x^2y + 3xy^2 + sin(xy^2) , e . A função que temos é:
Vamos precisar usar as regras de derivação parcial para cada variável. Como a função depende de e , vamos ver o que acontece com .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Isso significa que vamos derivar a função em relação a , tratando como uma constante.

Passo 3

A derivada de em relação a é porque usamos a regra do poder: multiplicamos o expoente por 3 e diminuímos o expoente em 1.

Passo 4

Para a parte , tratamos como constante. Então, a derivada em relação a é .

Passo 5

Na expressão , novamente é constante. A derivada é .

Passo 6

Agora, para , usamos a regra da cadeia. A derivada de é multiplicado pela derivada de . Aqui, , cuja derivada em relação a é . Então, a derivada é .

Passo 7

Juntando tudo, a derivada parcial de partial fpartial x = 9x^2 - 8xy + 3y^2 + y^2cos(xy^2) em relação a é:

Passo 8

Agora, vamos calcular . Aqui, derivamos a função em relação a , tratando como constante.

Passo 9

A derivada de em relação a é 0, pois não há nessa parte.

Passo 10

Para , a derivada é , já que é constante.

Passo 11

Na expressão , a derivada é , aplicando a regra do poder com respeito a .

Passo 12

Para , usamos novamente a regra da cadeia. A derivada é multiplicado pela derivada de em relação a , que é . Então, a derivada é .

Passo 13

Juntando tudo, a derivada parcial de partial fpartial y = -4x^2 + 6xy + 2xycos(xy^2) em relação a é:

Passo 14

Por fim, vamos calcular . Observamos que a função não depende de de forma alguma.

Passo 15

Se uma função não tem uma variável específica, a derivada parcial em relação a essa variável é zero. Então:
partial fpartial z = 0

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = 9x^2 - 8xy + 3y^2 + y^2cos(xy^2)
partial fpartial y = -4x^2 + 6xy + 2xycos(xy^2)
partial fpartial z = 0

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