Calcule as derivadas parciais
e
para:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular as derivadas parciais de uma função em relação a
,
e
. A função que temos é:
Vamos precisar usar as regras de derivação parcial para cada variável. Como a função
depende de
e
, vamos ver o que acontece com
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Isso significa que vamos derivar a função
em relação a
, tratando
como uma constante.
Passo 3
A derivada de
em relação a
é
porque usamos a regra do poder: multiplicamos o expoente por 3 e diminuímos o expoente em 1.
Passo 4
Para a parte
, tratamos
como constante. Então, a derivada em relação a
é
.
Passo 5
Na expressão
, novamente
é constante. A derivada é
.
Passo 6
Agora, para
, usamos a regra da cadeia. A derivada de
é
multiplicado pela derivada de
. Aqui,
, cuja derivada em relação a
é
. Então, a derivada é
.
Passo 7
Juntando tudo, a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 8
Agora, vamos calcular
. Aqui, derivamos a função
em relação a
, tratando
como constante.
Passo 9
A derivada de
em relação a
é 0, pois não há
nessa parte.
Passo 10
Para
, a derivada é
, já que
é constante.
Passo 11
Na expressão
, a derivada é
, aplicando a regra do poder com respeito a
.
Passo 12
Para
, usamos novamente a regra da cadeia. A derivada é
multiplicado pela derivada de
em relação a
, que é
. Então, a derivada é
.
Passo 13
Juntando tudo, a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 14
Por fim, vamos calcular
. Observamos que a função
não depende de
de forma alguma.
Passo 15
Se uma função não tem uma variável específica, a derivada parcial em relação a essa variável é zero. Então:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Obtenha as derivadas parciais
, sendo
, no ponto
indicado.
e
Obtenha as derivadas parciais
, sendo
, no ponto
indicado.
e
Calcule as derivadas parciais
e
para:
Suponhamos que o potencial elétrico V no ponto
seja dado por
onde
é dado em volts e
e
em centímetros. Encontre a taxa de variação instantânea de variação
em relação a distância em
na direção, respectivamente, do eixo
, eixo
, e eixo
.