Obtenha as derivadas parciais partial^2 zpartial x^2 e partial^2 zpartial y^2, sendo z=f(x, y), no ponto P indicado.
z=x^2+y^2+x^2 y^2-x^3 y^3 e P(2,1)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo de derivadas parciais. Precisamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem de uma função no ponto . As derivadas que vamos calcular são e . Para isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função dada:
z = x^2 + y^2 + x^2 y^2 - x^3 y^3
Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de segunda ordem em relação a e .

Passo 3

Vamos começar encontrando a primeira derivada parcial de partial zpartial x = partialpartial x ( x^2 + y^2 + x^2 y^2 - x^3 y^3 ) em relação a partial zpartial x = 2x + 0 + 2x y^2 - 3x^2 y^3 :
Aplicando a regra da potência e considerando como constante:

Passo 4

Agora, vamos derivar novamente em relação a partial^2 zpartial x^2 = partialpartial x ( 2x + 2x y^2 - 3x^2 y^3 ) para encontrar partial^2 zpartial x^2 = 2 + 2 y^2 - 6x y^3 :
Calculando cada termo:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial de partial zpartial y = partialpartial y ( x^2 + y^2 + x^2 y^2 - x^3 y^3 ) em relação a partial zpartial y = 0 + 2y + 2x^2 y - 3x^3 y^2 :
Aplicando a regra da potência e considerando como constante:

Passo 6

Agora, vamos derivar novamente em relação a partial^2 zpartial y^2 = partialpartial y ( 2y + 2x^2 y - 3x^3 y^2 ) para encontrar partial^2 zpartial y^2 = 2 + 2x^2 - 6x^3 y :
Calculando cada termo:

Passo 7

Agora, substituímos as coordenadas do ponto partial^2 zpartial x^2 = 2 + 2(1)^2 - 6(2)(1)^3 = 2 + 2 - 12 = -8 nas derivadas encontradas.
Para partial^2 zpartial y^2 = 2 + 2(2)^2 - 6(2)^3(1) = 2 + 8 - 48 = -38 :
Para :

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem no ponto partial^2 zpartial x^2 = -8 e partial^2 zpartial y^2 = -38 são:

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