Obtenha as derivadas parciais
, sendo
, no ponto
indicado.
e
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo de derivadas parciais. Precisamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem de uma função
no ponto
. As derivadas que vamos calcular são
e
. Para isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função dada:
Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de segunda ordem em relação a
e
.
Passo 3
Vamos começar encontrando a primeira derivada parcial de
em relação a
:
Aplicando a regra da potência e considerando
como constante:
Passo 4
Agora, vamos derivar novamente em relação a
para encontrar
:
Calculando cada termo:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
:
Aplicando a regra da potência e considerando
como constante:
Passo 6
Agora, vamos derivar novamente em relação a
para encontrar
:
Calculando cada termo:
Passo 7
Agora, substituímos as coordenadas do ponto
nas derivadas encontradas.
Para
:
Para
:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem no ponto
são:
Exercícios relacionados
Obtenha as derivadas parciais
, sendo
, no ponto
indicado.
e
Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta.
Obtenha as derivadas parciais
, sendo
, no ponto
indicado.
e
Calcule as derivadas parciais
e
para: