Suponhamos que o potencial elétrico V no ponto (x, y, z) seja dado por
v = 100 / (x^2 + y^2 + z^2)
onde V é dado em volts e x e y em centímetros. Encontre a taxa de variação instantânea de variação V em relação a distância em (2, -1, 1) na direção, respectivamente, do eixo x, eixo y, e eixo z.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema tá pedindo. A gente tem uma função que representa o potencial elétrico em um ponto , que é dada por:
Aqui, está em volts e as coordenadas , e estão em centímetros. O objetivo é descobrir como muda instantaneamente em relação à distância nas direções dos eixos , e no ponto específico . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada parcial de uma função em relação a uma variável mede a taxa de variação dessa função quando apenas essa variável muda, mantendo as outras constantes. No nosso caso, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Fazemos o mesmo para e :

Passo 4

Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto nas derivadas parciais que encontramos:
Primeiro, calculamos o denominador:
Agora, substituímos na derivada parcial de :
Para :
E para :

Resposta

A taxa de variação instantânea de no ponto é:
  • Na direção do eixo : V/cm
  • Na direção do eixo : V/cm
  • Na direção do eixo : V/cm

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