Suponhamos que o potencial elétrico V no ponto
seja dado por
onde
é dado em volts e
e
em centímetros. Encontre a taxa de variação instantânea de variação
em relação a distância em
na direção, respectivamente, do eixo
, eixo
, e eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema tá pedindo. A gente tem uma função que representa o potencial elétrico
em um ponto
, que é dada por:
Aqui,
está em volts e as coordenadas
,
e
estão em centímetros. O objetivo é descobrir como
muda instantaneamente em relação à distância nas direções dos eixos
,
e
no ponto específico
. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada parcial de uma função em relação a uma variável mede a taxa de variação dessa função quando apenas essa variável muda, mantendo as outras constantes. No nosso caso, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Fazemos o mesmo para
e
:
Passo 4
Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto
nas derivadas parciais que encontramos:
Primeiro, calculamos o denominador:
Agora, substituímos na derivada parcial de
:
Para
:
E para
:
Resposta
A taxa de variação instantânea de
no ponto
é:
- Na direção do eixo
: V/cm - Na direção do eixo
: V/cm - Na direção do eixo
: V/cm
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Calcule as derivadas parciais
e
para:
Calcule as derivadas parciais
e
para:
Seja
, calcule
, no ponto
.
Considere a transformação
dada por
e
. Desenhe
, sendo
a reta
.