Calcule as derivadas parciais
e
para:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
. Isso está dentro da matéria de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia para derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Como estamos derivando em relação a
, tratamos
e
como constantes. A função
é o produto de
e
.
A derivada de
em relação a
é
(usando a regra da cadeia, onde
e
).
Então, multiplicando pela constante
, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
De forma semelhante ao passo anterior, tratamos
e
como constantes. A derivada de
em relação a
é
.
Multiplicando pela constante
, temos:
Passo 4
Por último, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Aqui,
é um produto de duas funções que dependem de
. Para derivar isso, usamos a regra do produto: se
, então
.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Depois, derivamos
em relação a
:
Aplicando a regra do produto:
Resposta
As derivadas parciais de
são:
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas parciais
e
para:
Obtenha as derivadas parciais
, sendo
, no ponto
indicado.
e
Suponhamos que o potencial elétrico V no ponto
seja dado por
onde
é dado em volts e
e
em centímetros. Encontre a taxa de variação instantânea de variação
em relação a distância em
na direção, respectivamente, do eixo
, eixo
, e eixo
.
Seja
, calcule
, no ponto
.