Calcule as derivadas parciais partial fpartial x, partial fpartial y e partial fpartial z para:
f(x, y, z)=e^x y z ln (z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular as derivadas parciais de em relação a , e . Isso está dentro da matéria de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia para derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de partial fpartial x = y z e^xyz ln(z) em relação a , ou seja, .
Como estamos derivando em relação a , tratamos e como constantes. A função é o produto de e .
A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia, onde e ).
Então, multiplicando pela constante , temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = x z e^xyz ln(z) em relação a , ou seja, .
De forma semelhante ao passo anterior, tratamos e como constantes. A derivada de em relação a é .
Multiplicando pela constante , temos:

Passo 4

Por último, vamos encontrar a derivada parcial de ddz e^xyz = x y e^xyz em relação a ddz ln(z) = 1z , ou seja, partial fpartial z = x y e^xyz ln(z) + e^xyz cdot 1z .
Aqui, partial fpartial z = e^xyz ( x y ln(z) + 1z ) é um produto de duas funções que dependem de . Para derivar isso, usamos a regra do produto: se , então .
Primeiro, derivamos em relação a :
Depois, derivamos em relação a :
Aplicando a regra do produto:

Resposta

As derivadas parciais de partial fpartial x = y z e^xyz ln(z) são:
partial fpartial y = x z e^xyz ln(z)
partial fpartial z = e^xyz ( x y ln(z) + 1z )

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