Obtenha as derivadas parciais , sendo , no ponto indicado. e
Passo 1
Então, temos um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais de segunda ordem. A função dada é , que simplifica para . Queremos encontrar as derivadas parciais e no ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar as regras de derivação passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Dado que , a derivada de em relação a é .
Então,
Ou seja,
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a , que é .
Para isso, derivamos novamente em relação a :
Aplicando a regra do produto:
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Observando a função , percebemos que ela não depende de . Ou seja, qualquer derivada em relação a será zero.
Portanto:
E consequentemente:
Resposta
No ponto , as derivadas parciais de segunda ordem são: