Obtenha as derivadas parciais
, sendo
, no ponto
indicado.
e
Passo 1
Então, temos um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais de segunda ordem. A função dada é
, que simplifica para
. Queremos encontrar as derivadas parciais
e
no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar as regras de derivação passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Dado que
, a derivada de
em relação a
é
.
Então,
Ou seja,
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, que é
.
Para isso, derivamos
novamente em relação a
:
Aplicando a regra do produto:
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Observando a função
, percebemos que ela não depende de
. Ou seja, qualquer derivada em relação a
será zero.
Portanto:
E consequentemente:
Resposta
No ponto
, as derivadas parciais de segunda ordem são:
e