Obtenha as derivadas parciais partial^2 zpartial x^2 e partial^2 zpartial y^2, sendo z=f(x, y), no ponto P indicado.
f(x, y)=e^x x^2 e P(1,1)

Passo 1

Então, temos um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais de segunda ordem. A função dada é , que simplifica para . Queremos encontrar as derivadas parciais e no ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar as regras de derivação passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de partial zpartial x = e^x^3 cdot ddx(x^3) = e^x^3 cdot 3x^2 em relação a partial zpartial x = 3x^2 e^x^3 , ou seja, .
Dado que , a derivada de em relação a é .
Então,
Ou seja,

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial^2 zpartial x^2 = ddx ( 3x^2 e^x^3 ) em relação a partial^2 zpartial x^2 = 3x^2 cdot ddx ( e^x^3 ) + e^x^3 cdot ddx ( 3x^2 ) , que é ddx ( e^x^3 ) = 3x^2 e^x^3 .
Para isso, derivamos ddx ( 3x^2 ) = 6x novamente em relação a partial^2 zpartial x^2 = 3x^2 cdot 3x^2 e^x^3 + e^x^3 cdot 6x = 9x^4 e^x^3 + 6x e^x^3 = e^x^3 (9x^4 + 6x) :
Aplicando a regra do produto:
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial zpartial y = 0 em relação a partial^2 zpartial y^2 = 0 , ou seja, .
Observando a função , percebemos que ela não depende de . Ou seja, qualquer derivada em relação a será zero.
Portanto:
E consequentemente:

Resposta

No ponto partial^2 zpartial x^2 g|(1,1) = 15e , as derivadas parciais de segunda ordem são:
partial^2 zpartial y^2 g|(1,1) = 0
e

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Obtenha as derivadas parciais partial^2 zpartial x^2 e partial^2 zpartial y^2, sendo z=f(x, y), no ponto P indicado.
z=x^2+y^2+x^2 y^2-x^3 y^3 e P(2,1)
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z=ln (x y)-x^3+y^4 e P(2,1)
Calcule as derivadas parciais partial fpartial x, partial fpartial y e partial fpartial z para:
f(x, y)=3 x^3-4 x^2 y+3 x y^2+sen(x y^2)
Calcule as derivadas parciais partial fpartial x, partial fpartial y e partial fpartial z para:
f(x, y, z)=e^x y z ln (z)