Calcule as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y.
f(x, y)=e^-x cos (x+y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular as derivadas parciais de uma função em relação a e . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar aplicar regras de derivação, como a regra do produto e a derivada da função composta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de ddx e^-x = -e^-x em relação a ddx cos(x + y) = -sin(x + y) cdot ddx(x + y) = -sin(x + y) , ou seja, partial fpartial x = (-e^-x) cdot cos(x + y) + e^-x cdot (-sin(x + y)) .
A função é partial fpartial x = -e^-x cos(x + y) - e^-x sin(x + y) . Note que temos um produto de duas funções: e . Então, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de é .
  1. Derivada de em relação a :
  2. Derivada de em relação a : (Aqui usamos a regra da cadeia, já que temos uma função composta.)
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de ddy cos(x + y) = -sin(x + y) cdot ddy(x + y) = -sin(x + y) em relação a partial fpartial y = e^-x cdot (-sin(x + y)) , ou seja, partial fpartial y = -e^-x sin(x + y) .
A função continua sendo . Dessa vez, só a parte depende de , então a derivada de em relação a é zero.
  1. Derivada de em relação a : (Usamos novamente a regra da cadeia.)
Multiplicando pela parte que depende de :
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais de partial fpartial x = -e^-x cos(x + y) - e^-x sin(x + y) são:
partial fpartial y = -e^-x sin(x + y)
e

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