Verifique se a função a seguir é solução da equação de onda.
w=sen(x+c t)+cos (2 x+2 c t)
Na física, essa bela simetria é expressa pela Equação de Onda Unidimensional.
partial^2 wpartial t^2=c^2 partial^2 wpartial x^2
em que w é a altura da onda, x é a distância, t é o tempo e c é a velocidade com a qual as ondas se propagam.
Se ficarmos em uma praia e tirarmos uma fotografia das ondas, essa foto mostrará um padrão regular de picos e depressões em dado instante. Veremos o movimento vertical periódico no espaço em relação à distância. Se ficarmos na água, poderemos sentir a subida e descida da água com o passar das ondas. Veremos movimentos periódicos no tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a função
w = sen(x + c t) + cos(2x + 2c t)
é solução da Equação de Onda Unidimensional. Isso significa que precisamos ver se, ao calcular as segundas derivadas dessa função em relação ao tempo ( t) e à posição ( x), a equação
partial^2 wpartial t^2 = c^2 partial^2 wpartial x^2
é satisfeita. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de w em relação ao tempo ( t). Mas antes, vamos achar a primeira derivada.
A função dada é:
w = sen(x + c t) + cos(2x + 2c t)
Vamos derivar cada termo em relação a t.
  1. Derivada de sen(x + c t) em relação a t:
    • A derivada de sen(u) é cos(u) cdot dudt.
    • Aqui, u = x + c t, então dudt = c.
    • Portanto, a primeira derivada é c cdot cos(x + c t).
  2. Derivada de cos(2x + 2c t) em relação a t:
    • A derivada de cos(v) é - sen(v) cdot dvdt.
    • Aqui, v = 2x + 2c t, então dvdt = 2c.
    • Portanto, a primeira derivada é -2c cdot sen(2x + 2c t).
Agora, juntando as duas derivadas:
partial wpartial t = c cdot cos(x + c t) - 2c cdot sen(2x + 2c t)
Agora, vamos derivar novamente para obter a segunda derivada.
  1. Derivada de c cdot cos(x + c t) em relação a t:
    • A derivada de cos(u) é - sen(u) cdot dudt.
    • u = x + c t, então dudt = c.
    • Portanto, a derivada é -c^2 cdot sen(x + c t).
  2. Derivada de -2c cdot sen(2x + 2c t) em relação a t:
    • A derivada de sen(v) é cos(v) cdot dvdt.
    • v = 2x + 2c t, então dvdt = 2c.
    • Portanto, a derivada é -2c cdot 2c cdot cos(2x + 2c t) = -4c^2 cdot cos(2x + 2c t).
Juntando as duas partes, temos:
partial^2 wpartial t^2 = -c^2 cdot sen(x + c t) - 4c^2 cdot cos(2x + 2c t)

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de w em relação à posição ( x), seguindo o mesmo processo.
Começamos encontrando a primeira derivada de w em relação a x.
  1. Derivada de sen(x + c t) em relação a x:
    • A derivada de sen(u) é cos(u) cdot dudx.
    • Aqui, u = x + c t, então dudx = 1.
    • Portanto, a primeira derivada é cos(x + c t).
  2. Derivada de cos(2x + 2c t) em relação a x:
    • A derivada de cos(v) é - sen(v) cdot dvdx.
    • Aqui, v = 2x + 2c t, então dvdx = 2.
    • Portanto, a primeira derivada é -2 cdot sen(2x + 2c t).
Juntando as duas derivadas:
partial wpartial x = cos(x + c t) - 2 cdot sen(2x + 2c t)
Agora, vamos derivar novamente para obter a segunda derivada.
  1. Derivada de cos(x + c t) em relação a x:
    • A derivada de cos(u) é - sen(u) cdot dudx.
    • u = x + c t, então dudx = 1.
    • Portanto, a derivada é - sen(x + c t).
  2. Derivada de -2 cdot sen(2x + 2c t) em relação a x:
    • A derivada de sen(v) é cos(v) cdot dvdx.
    • v = 2x + 2c t, então dvdx = 2.
    • Portanto, a derivada é -2 cdot 2 cdot cos(2x + 2c t) = -4 cdot cos(2x + 2c t).
Juntando as duas partes, temos:
partial^2 wpartial x^2 = - sen(x + c t) - 4 cdot cos(2x + 2c t)
Agora, multiplicamos essa segunda derivada por c^2:
c^2 cdot partial^2 wpartial x^2 = -c^2 cdot sen(x + c t) - 4c^2 cdot cos(2x + 2c t)

Passo 4

Agora que temos as duas expressões:
  • Segunda derivada em relação ao tempo:
    partial^2 wpartial t^2 = -c^2 cdot sen(x + c t) - 4c^2 cdot cos(2x + 2c t)
  • c^2 vezes a segunda derivada em relação à posição:
    c^2 cdot partial^2 wpartial x^2 = -c^2 cdot sen(x + c t) - 4c^2 cdot cos(2x + 2c t)
Observamos que as duas expressões são iguais:
partial^2 wpartial t^2 = c^2 cdot partial^2 wpartial x^2

Resposta

Sim, a função dada satisfaz a Equação de Onda Unidimensional. Portanto, w = sen(x + c t) + cos(2x + 2c t) é uma solução da equação de onda.

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