Verifique se a função a seguir é solução da equação de onda.
Na física, essa bela simetria é expressa pela Equação de Onda Unidimensional.
em que
é a altura da onda,
é a distância,
é o tempo e
é a velocidade com a qual as ondas se propagam.
Se ficarmos em uma praia e tirarmos uma fotografia das ondas, essa foto mostrará um padrão regular de picos e depressões em dado instante. Veremos o movimento vertical periódico no espaço em relação à distância. Se ficarmos na água, poderemos sentir a subida e descida da água com o passar das ondas. Veremos movimentos periódicos no tempo.
Se ficarmos em uma praia e tirarmos uma fotografia das ondas, essa foto mostrará um padrão regular de picos e depressões em dado instante. Veremos o movimento vertical periódico no espaço em relação à distância. Se ficarmos na água, poderemos sentir a subida e descida da água com o passar das ondas. Veremos movimentos periódicos no tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a função
é solução da Equação de Onda Unidimensional. Isso significa que precisamos ver se, ao calcular as segundas derivadas dessa função em relação ao tempo (
) e à posição (
), a equação
é satisfeita. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de
em relação ao tempo (
). Mas antes, vamos achar a primeira derivada.
A função dada é:
Vamos derivar cada termo em relação a
.
-
Derivada de
em relação a : - A derivada de
é . - Aqui,
, então . - Portanto, a primeira derivada é
.
- A derivada de
-
Derivada de
em relação a : - A derivada de
é . - Aqui,
, então . - Portanto, a primeira derivada é
.
- A derivada de
Agora, juntando as duas derivadas:
Agora, vamos derivar novamente para obter a segunda derivada.
-
Derivada de
em relação a : - A derivada de
é . -
, então . - Portanto, a derivada é
.
- A derivada de
-
Derivada de
em relação a : - A derivada de
é . -
, então . - Portanto, a derivada é
.
- A derivada de
Juntando as duas partes, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação à posição (
), seguindo o mesmo processo.
Começamos encontrando a primeira derivada de
em relação a
.
-
Derivada de
em relação a : - A derivada de
é . - Aqui,
, então . - Portanto, a primeira derivada é
.
- A derivada de
-
Derivada de
em relação a : - A derivada de
é . - Aqui,
, então . - Portanto, a primeira derivada é
.
- A derivada de
Juntando as duas derivadas:
Agora, vamos derivar novamente para obter a segunda derivada.
-
Derivada de
em relação a : - A derivada de
é . -
, então . - Portanto, a derivada é
.
- A derivada de
-
Derivada de
em relação a : - A derivada de
é . -
, então . - Portanto, a derivada é
.
- A derivada de
Juntando as duas partes, temos:
Agora, multiplicamos essa segunda derivada por
:
Passo 4
Agora que temos as duas expressões:
-
Segunda derivada em relação ao tempo:
-
vezes a segunda derivada em relação à posição:
Observamos que as duas expressões são iguais:
Resposta
Sim, a função dada satisfaz a Equação de Onda Unidimensional. Portanto,
é uma solução da equação de onda.
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Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta: 44. Se
for uma função vetorial que é contínua no intervalo
, então, dado
, teremos
Calcule a integral definida:
Calcule as derivadas parciais
.
Considere
Qual o domínio de ? Qual o valor de
?
Qual o domínio de