Seja z=raizx^2+y^2, calcule (partial^2 zpartial x^2-partial^2 zpartial y^2), no ponto P(3,4).

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos a função e precisamos calcular a expressão no ponto . Para resolver isso, vamos trabalhar com derivadas parciais de segunda ordem utilizando conceitos de cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de partial zpartial x = 12(x^2 + y^2)^-1/2 cdot 2x = xraizx^2 + y^2 em relação a . A função pode ser reescrita como . Aplicando a regra da cadeia para derivadas, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de partial^2 zpartial x^2 = partialpartial x ( xraizx^2 + y^2 ) em relação a partial^2 zpartial x^2 = raizx^2 + y^2 cdot 1 - x cdot xraizx^2 + y^2(x^2 + y^2) . Tomando a derivada da expressão que encontramos no passo anterior:
partial^2 zpartial x^2 = y^2(x^2 + y^2)^3/2
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 4

De maneira similar, vamos encontrar a segunda derivada de partial zpartial y = yraizx^2 + y^2 em relação a partial^2 zpartial y^2 = x^2(x^2 + y^2)^3/2 . Primeiro, a primeira derivada em relação a é:
Então, a segunda derivada é:

Passo 5

Agora, queremos calcular a diferença entre as segundas derivadas:
partial^2 zpartial x^2 - partial^2 zpartial y^2 = y^2 - x^2(x^2 + y^2)^3/2

Resposta

No ponto y^2 - x^2(x^2 + y^2)^3/2 = 16 - 9(9 + 16)^3/2 = 725^3/2 = 7125 , substituímos e :
Portanto, a resposta final é .

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