Seja
, calcule
, no ponto
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos a função
e precisamos calcular a expressão
no ponto
. Para resolver isso, vamos trabalhar com derivadas parciais de segunda ordem utilizando conceitos de cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
em relação a
. A função
pode ser reescrita como
. Aplicando a regra da cadeia para derivadas, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
. Tomando a derivada da expressão que encontramos no passo anterior:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 4
De maneira similar, vamos encontrar a segunda derivada de
em relação a
. Primeiro, a primeira derivada em relação a
é:
Então, a segunda derivada é:
Passo 5
Agora, queremos calcular a diferença entre as segundas derivadas:
Resposta
No ponto
, substituímos
e
:
Portanto, a resposta final é
.
Exercícios relacionados
Suponhamos que o potencial elétrico V no ponto
seja dado por
onde
é dado em volts e
e
em centímetros. Encontre a taxa de variação instantânea de variação
em relação a distância em
na direção, respectivamente, do eixo
, eixo
, e eixo
.
Calcule as derivadas parciais
e
para:
Considere a transformação
dada por
e
. Desenhe
, sendo
a reta
.
Obtenha
, o vetor gradiente da função
onde
.