Calcule as derivadas parciais, partial zpartial x e partial zpartial y : z=x e^-y+5 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A questão pede para calcular as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y da função z = x e^-y + 5 y. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais, que é parte do estudo de cálculo multivariável. Precisamos entender como derivar z em relação a cada uma das variáveis ( x e y) mantendo a outra constante.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de z em relação a x, ou seja, partial zpartial x.
Quando calculamos uma derivada parcial em relação a uma variável, tratamos as outras variáveis como constantes. Aqui, vamos considerar y como uma constante.
A função é:
z = x e^-y + 5 y
Derivando termo a termo em relação a x:
  • A derivada de x e^-y em relação a x é e^-y, porque e^-y é uma constante multiplicando x.
  • A derivada de 5 y em relação a x é 0, já que não há x nesse termo.
Então:
partial zpartial x = e^-y + 0 = e^-y

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de z em relação a y, ou seja, partial zpartial y.
Dessa vez, vamos tratar x como uma constante.
A função é:
z = x e^-y + 5 y
Derivando termo a termo em relação a y:
  • A derivada de x e^-y em relação a y é -x e^-y, porque a derivada de e^-y em relação a y é -e^-y, e multiplicamos pelo x que é constante.
  • A derivada de 5 y em relação a y é 5, já que a derivada de y em relação a y é 1.
Então:
partial zpartial y = -x e^-y + 5

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = e^-y
e
partial zpartial y = -x e^-y + 5

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