Calcule as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y da função z=x^2 ln (1+x^2+y^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y da função z = x^2 ln (1+x^2+y^2). Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a x, ou seja, partial zpartial x. A função z é o produto de x^2 e ln(1 + x^2 + y^2). Então, aplicamos a regra do produto, que diz que a derivada de u cdot v é u' cdot v + u cdot v'.
Então:
partial zpartial x = partialpartial x(x^2) cdot ln(1 + x^2 + y^2) + x^2 cdot partialpartial x(ln(1 + x^2 + y^2))
Calculando cada parte:
partialpartial x(x^2) = 2x
partialpartial x(ln(1 + x^2 + y^2)) = 2x1 + x^2 + y^2 (usando a regra da cadeia)
Substituindo de volta:
partial zpartial x = 2x cdot ln(1 + x^2 + y^2) + x^2 cdot (2x1 + x^2 + y^2)
partial zpartial x = 2x ln(1 + x^2 + y^2) + 2x^31 + x^2 + y^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a y, ou seja, partial zpartial y. Novamente, usando a regra do produto:
partial zpartial y = partialpartial y(x^2) cdot ln(1 + x^2 + y^2) + x^2 cdot partialpartial y(ln(1 + x^2 + y^2))
Observando que partialpartial y(x^2) = 0 porque x^2 não depende de y. Então:
partial zpartial y = 0 cdot ln(1 + x^2 + y^2) + x^2 cdot (2y1 + x^2 + y^2)
partial zpartial y = 2x^2y1 + x^2 + y^2

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = 2x ln(1 + x^2 + y^2) + 2x^31 + x^2 + y^2
partial zpartial y = 2x^2y1 + x^2 + y^2

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