Calcule: integral0^pi sen(3 x) d x

Passo 1

Vamos calcular a integral definida de sen(3x) no intervalo de 0 a pi. Esse exercício está relacionado ao estudo de integrais na matéria de Cálculo. Para resolvê-lo, vamos precisar saber como integrar funções trigonométricas, especificamente a função seno.

Passo 2

Primeiro, identificamos a função que vamos integrar: sen(3x). A integral de uma função seno é uma função cosseno dividida pelo coeficiente de x dentro do seno. A fórmula geral é:
integral sen(kx) , dx = -1k cos(kx) + C
onde k é uma constante e C é a constante de integração.

Passo 3

Aplicando a fórmula à nossa função sen(3x), onde k = 3:
integral sen(3x) , dx = -13 cos(3x) + C

Passo 4

Agora, como estamos calculando uma integral definida de 0 a pi, vamos aplicar os limites de integração à antiderivada encontrada:
[ -13 cos(3x) ]0^pi = -13 cos(3pi) - ( -13 cos(0) )

Passo 5

Calculamos os valores dos cossenos:
  • cos(3pi) = cos(pi) = -1 (já que o cosseno tem período 2pi, então cos(3pi) = cos(pi) = -1)
  • cos(0) = 1
Substituindo:
-13 (-1) - ( -13 cdot 1 ) = 13 + 13 = 23

Resposta

O valor da integral é dfrac23.

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