Mostre que a série sumn=1^infty n!n^n converge para zero. (Dica: use o teste da razão)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para mostrar que a série converge para zero. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas e, mais especificamente, vamos usar o Teste da Razão para resolver. Vamos precisar entender como esse teste funciona e aplicá-lo passo a passo na série que temos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é Teste da Razão. Esse teste ajuda a determinar se uma série infinita converge ou não. Funciona assim: calculamos o limite do quociente entre o termo seguinte da série e o termo atual quando L = limn to infty | an+1an | tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge absolutamente. Se for maior que 1, a série diverge. Se for igual a 1, o teste não dá resposta e precisamos usar outro método.
Matematicamente, o Teste da Razão é dado por:
Onde é o termo geral da série.

Passo 3

Agora, vamos aplicar esse teste na nossa série an = n!n^n . Aqui, o termo geral é:
an+1an = (n+1)!(n+1)^n+1 cdot n^nn! = (n+1) cdot n^n(n+1)^n+1 = n^n(n+1)^n cdot 1n+1
Vamos calcular an+1an = ( nn+1 )^n cdot 1n+1 :
Podemos simplificar ainda mais:
L = limn to infty ( nn+1 )^n cdot 1n+1
Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty ( nn+1 )^n = 1e tende ao infinito:
limn to infty 1n+1 = 0
Sabemos que:
L = 1e cdot 0 = 0
E:
Portanto:

Passo 4

Agora que temos o valor do limite , que é menor que 1, podemos concluir pelo Teste da Razão que a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente, pois pelo Teste da Razão o limite .

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