Mostre que a série converge para zero. (Dica: use o teste da razão)
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para mostrar que a série converge para zero. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas e, mais especificamente, vamos usar o Teste da Razão para resolver. Vamos precisar entender como esse teste funciona e aplicá-lo passo a passo na série que temos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é Teste da Razão. Esse teste ajuda a determinar se uma série infinita converge ou não. Funciona assim: calculamos o limite do quociente entre o termo seguinte da série e o termo atual quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge absolutamente. Se for maior que 1, a série diverge. Se for igual a 1, o teste não dá resposta e precisamos usar outro método.
Matematicamente, o Teste da Razão é dado por:
Onde é o termo geral da série.
Passo 3
Agora, vamos aplicar esse teste na nossa série . Aqui, o termo geral é:
Vamos calcular :
Podemos simplificar ainda mais:
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Sabemos que:
E:
Portanto:
Passo 4
Agora que temos o valor do limite , que é menor que 1, podemos concluir pelo Teste da Razão que a série converge absolutamente.
Resposta
A série converge absolutamente, pois pelo Teste da Razão o limite .